ЗАДАНИЕ №8

Это заданиеотносится к разделу «линейные операторы»; более подробно о линейных операторах (отображениях, преобразованиях) можно прочитать в [1] гл. 6, [2] §15 и найти решённые задачи этой темы можно в [3] гл. 5 §4.

Если в линейном пространстве R каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор , то говорят, что в пространстве R задан оператор A. Оператор A называется линейным, если для любых векторов и и любого действительного числа λ выполняются равенства:

Значит, для того, чтобы проверить, является ли оператор A линейным надо проверить, выполняются ли эти равенства.

Проверим, является ли оператор A линейным в R³

Возьмем два вектора и

То есть оператор A является линейным, найдем его матрицу.

Первая координата произведения получается умножением первой строки на столбец , то есть , значит , ,

Вторая координата произведения:

Третья координата произведения:

Итак, матрица оператора

Найдем собственные значения линейного оператора:

(1-λ)·(1-λ)²-1·1=0

(1-λ)³=1

1-λ=1

λ=0

Оператор A имеет собственное значение λ=0 кратности 3.

Для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:

положив

получим:

Собственному числу соответствует собственный вектор