ЗАДАНИЕ №17

Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов.

Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях:

1) отрезок интегрирования [a,b] конечен

2) подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна

При таких предположениях интеграл называется собственныминтегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется несобственныминтегралом.

Несобственный интеграл с бесконечными пределами.

Пусть функция f(x) в промежутке непрерывна. Интегралом от f(x) в пределах между называется предел интеграла, взятого от , т.е.

Это несобственный интеграл.

Если конечный предел в правой части существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x)- интегрируемой на . Если этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл

для любого a.

Пример 1.Вычислить

а) p¹1

Пример 2.Вычислим несобственный интеграл или покажем, что он расходится.

Решение:Найдем неопределённый интеграл

Итак, предел существует, значит, несобственный интеграл I сходится и равен

Интеграл 2-го рода.

Если в интеграле функция f(x) неограниченно возрастает, то есть когда x приближается к одному из пределов интегрирования. Когда это происходит при x®a, то .

Если подынтегральная функция перестаёт быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например в точке с то эту точку вырезают:

Пример 3.Вычислим

Решение: Когда x®2 подынтегральная функция . Точка x=2 особая.

То есть интеграл расходящийся.

Подробнее с несобственными интегралами можно ознакомиться в[1]гл.XIV, [4] гл.11 и найти задачи на эту тему в [3] гл.10

Решите самостоятельно следующие задачи. Вычислить интегралы: