ЗАДАНИЕ №20

Продолжим рассмотрение функции нескольких переменных. Полное приращение функции определяется по формуле: где - приращения независимых переменных. По определению приращения независимых переменных и их дифференциалы dx, dy, dz – числа равные между собой.

. Полный дифференциал функции

(То есть в случае функции двух переменных).Полный дифференциал функции есть главная часть её приращения, линейная относительно , то есть или же для функции трёх переменных или для функции двух переменных. Подробнее (*)

где .

Подробнее о дифференциале функции нескольких переменных можно прочесть в [4] гл.8 или в [1] гл.15

Пример 1.Даны функции и точка М(1,02;2,05). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции в точке М и оценить относительную погрешность.

Решение: Приближенное значение некоторой функции f(x,y) в точке (x,y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)

,

где , значение функции f(x,y) в точке .

Точка подбирается таким образом, чтобы легко вычислялось; , приращение функции f(x,y) в точке по переменным x и y соответственно.

В качестве точки возьмем точку N(1,2), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.

Тогда

в точке

в точке

Вычислим точное значение

Итак, принимая вместо точного значения 3,9979 значение , мы допускаем абсолютную погрешность или относительную погрешность

Решите самостоятельно следующие задачи:

20.1 Найти полное приращение и полный дифференциал функции

20.2 Найти полный дифференциал функции