ЗАДАНИЕ №21

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, надо:

1) Найти стационарные точки функции, для чего следует решить систему уравнений

2) Вычислить в стационарных точках значения функции

3) Найти наибольшие и наименьшее значение функции на каждой линии, ограничивающей область;

4) Сравнить все полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции в замкнутой области.

Пример 1.Найти наибольшее и наименьшее значение функции в ограниченной замкнутой области D:

Решение: Точка являются точкой экстремума (максимума или минимума) функции z=f(x,y), если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше значений, принимаемых ее в некоторой окрестности точки , то есть при всех x и y достаточно близких к и . Точка P, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции f(x,y) называются стационарной точкой этой функции.

1. Найдем стационарные точки функции z(x,y)

Стационарная точка y функции z одна. Это точка 0.

1. Входит ли точка (0,0) в область D? Построим эту область.

- - парабола с вершиной в точке (0,-4). Точки пересечения с осью x: , ,

- y=0 – ось x.

Точка (0,0) входит в область D. Установим, является ли стационарная точка 0 точкой экстремума. Это делается так: Пусть стационарная точка функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке

. .

Если , то функция f(x,y) имеет в точке экстремум:

max-при A<0 и min при A>0.

Если , то точка не является точкой экстремума.

Если , то требуется дополнительное исследование.

Исследуем нашу функцию z по формулам.

3.

, точка (0,0) не является точкой экстремума.

4. Исследуем поведение функции на границе.

Так как Z не имеет ни max ни min, ее наибольшим и наименьшем значением является наибольшее и наименьшее из значений, принимаемых на границе.

Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее из значений, принимаемых на границе.

4а. Рассмотрим верхнюю границу y=1. На ней функция Z(x,1) превращается в

, в этой точке возможен экстремум. Знак производной меняется с – на +, то есть в точке - минимум z =-2.25

при

В точке

4б. Рассмотрим нижнюю границу

В точке производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума

В точке производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума . При функция z уже вычислялось. Видим, что от функция убывает до , затем возрастает до а затем убывает до .

То есть наименьшее значение для всей границы , а наибольшее

Ответ: Наибольшее значение функции z в замкнутой области D , наименьшее .

Подробнее об этом можно почитать в [1] гл.XV, [4] гл.8, и найти аналогичные задачи в [3] гл.8

Решите самостоятельно следующие задачи:

21.1 Найдите наибольшее и наименьшие значение функции в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x+y+5=0