ЗАДАНИЕ №24

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

Тройным интегралом от функции по области Ư называется предел интегральной суммы при условии, что

, где d- диаметр частичной области разбиения

Для непрерывной в области U функции этот предел существует и не зависит от способа разбиения области U на элементарные и от выбора точек Р_к (теорема о существовании тройного интеграла).

Если в области U, то тройной интеграл физически есть масса тела, занимающего область U и имеющего переменную плотность

В частности, если , то тройной интеграл определяет объем области U,т.е.

dU – элемент объёма.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:

Вычисление тройного интеграла

Пусть область интегрирования U определяется неравенствами:

Где y₁(x), y₂(x), z₁( x, y), z₂(x, y) – непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции по области U вычисляется по формуле:

Интеграл стоящий в правой части формулы называется трехкратным. Он принципиально мало чем отличается от двукратного, добавляется лишь интегрирование еще по одной переменной.

Пример 1.Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного

поверхностями

z=0, z=4-y², x²=2y.

Решение: Данное тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью z=4-y² с образующими, параллельными оси ОХ, снизу плоскостью z=0 ( координатная плоскость ХОУ ).

Эти поверхности

пересекаются по

прямым:

у = -2 и у = +2

Тело U ограничено также цилиндрической поверхностью x²=2y с образующими, параллельными оси OZ

Поверхности, пересекаясь, образуют замкнутое тело, которое проецируется в область Д

плоскости ХОУ

Для вычисления объёма воспользуемся формулами. Пределы интегрирования по Х и У расставятся в соответствии с областью Д (как в двухкратном интеграле), а пределами интегрирования по Z будут:

Получим

Ответ:

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

1.1Перенести свободный член направо и разделить обе части уравнения на него

1.2Использовать направляющий вектор прямой в качестве нормального вектора плоскости x-3y+4z+9=0

2.1 Воспользуйтесь уравнением с угловым коэффициентом. Прямые перпендикулярны.

2.2 Найдите координаты точки пересечения Aданных сторон; зная координаты точек AиN, найдите координаты противоположной вершины параллелограмма по формуле определения координат середины отрезка; через найденную точку C проведите прямую, параллельную AD, а потом прямую, параллельную AB.

(BC) 2x+y-5=0

(CD) x+2y-11=0

3.1 Соберите члены уравнения, содержащие одну и ту же переменную величину в скобки. В каждой скобке выделите полный квадрат.

Эллипс с полуосями

3.2 Для гиперболы ; найти aиb,подставить в уравнение

4.1

5.1

6.1 Ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы система несовместима

7.1

9.1.

9.2

10.1 Произведите вычитание дробей. Ответ:

10.2 Домножьте на иррационально сопряженное выражение . Ответ:

10.3 Приобразуйте выражение через sin xи cos x Ответ: (0).

10.4 Учтите, что

11.1 Найдите левосторонний и правосторонний пределы. Точка x=1точка разрыва первого рода.

11.2 Разрыв устранимый.

12.1 Сложная функция

12.2 Сложная функция

12.3 (производная дроби).

12.4 Воспользуйтесь логарифмом дроби

12.5

----------------------------------------------------------------------------------------

13.1 Неопределенность вида

Применив 1 раз правило Лопиталя, получим неопределенность вида Преобразуем дробь и применим правило Лопиталя ещё раз. Получим ответ

13.2 Неопределённость вида

Два раза применим правило Лопиталя. Ответ:

13.3 Неопределённость вида

Преобразуем

Получим неопределённость вида Применяем правило Лопиталя, преобразуем результат в единую дробь и ещё раз применяем правило Лопиталя. Ответ:

14.1 Функция возрастает в двух бесконечных интервалах и функция убывет на .

14.2

т.к. производная конечна всюду, критическими точками являются только . Рассмотрим интервалы , , , . Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной. Первая производная имеет в этих интервалах такую последовательность знаков: .

При минимум

при максимум

при минимум

Отрезок содержит внутри себя все критические точки. Так как значения в критических точках мы уже вычислили осталось вычислить значения на концах отрезка , . Сравнив, видим, что наибольшим является , а наименьшим .

______________________________________________

14.3 Для определения горизонтальных асимптот находим , и . Значит, горизонтальная асимптота одна (ось ).

Для определения вертикальных асимптот находим те значения , вблизи которых неограниченно возрастает по абсолютной величине: , . Это и есть вертикальные асимптоты.

14.4 Т.к. , то горизонтальных асимптот нет, т.к. неограниченно возрастает, когда при .

Таким образом имеется вертикальная асимптота, ее уравнение .

При этом при и при

Определим наклонные асимптоты , где ,

Итак, уравнение наклонной асимптоты

14.5. Область определения: вся числовая ось, кроме . Функция непрерывна всюду, кроме , следовательно имеется вертикальная асимптота: . Горизонтальных асимтот нет: .

Наклонные асимптоты: ,

Значит, наклонная асимптота одна:

Критические точки: , , , , (не входит в область определения)

(Не рассматривается, т.к. не входит в область определения) На интервалах и выпуклость вверх . На интервале выпуклость вниз т. - точка перегиба.

_________________________________________________________

15.1. Примените формулу интегрирование суммы, вынесения числового множителя за знак интеграла и интегрирование степенной функции.

Ответ:

15.2 Замена переменных ;

Подинтегральное выражение

Ответ:

15.3 Ответ:

15.4

Надо применить формулу:

Ответ:

15.5

Применим формулу из таблицы с учётом, что

Ответ:

16.1 Сделайте подстановку Определите новые пределы интегрирования

При изменении от 0 до функция монотонно возрастает и её значения заполняют первоначальный отрезок интегрирования

16.2 Учтите, что значение функции находятся на интервале

Ответ:

16.3 Ответ:

16.4 Подынтегральную функцию представьте в виде . Далее легко интегрируется.

Ответ:

16.5

Применена формула интегрирования по частям.

17.1 .

При предел существует и равен ;

при интеграл расходится .

17.2 Задача сводится к 17.1 подстановкой . Ответ: интеграл сходится при и расходится .

17.3

17.4 Замена переменных . Особенность в точке . Ответ:

17.5 имеет особенность в точке

(проинтегрировали по частям)

Но (по правилу Лопиталя)

Ответ:

18.1 Разделите отрезок интегрирования на 10 равных частей точками

; значит

Итак, , значит .

Взяв значения функций в точках деления до третьего знака, получим точность числа до второго знака.

19.1 u - функция двух переменных х и y. Находим , рассматривая как постоянную: , так как производная по от равна нулю, как производная константы

19.2 - функция трёх независимых переменных . При определении частной производной по каждой из этих переменных, две другие следует считать величинами постоянными.

19.3 , так как , а .

19.4

19.5

Эти производные вычислены по правилу производных сложной функции; внешняя функция-экспонента, затем , а затем дробь .

20.1.

= .

20.2

21.1 Стационарные точки:

x=-2, y=-1 ,следовательно, есть одна стационарная точка (-2, -1)

Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси , отрезка оси и отрезка АВ прямой

а) На оси , значит . Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке . Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах отрезка. Определим точку стационарности .

Определим значение функции при и на концах отрезка [-5,0]

б) На оси значит

в) Исследуем функцию z на отрезке AB. Уравнение АВ , значит

Сравним теперь значение z в стационарной точке (-2,-1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.

, получаем, что наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке , а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).

21.2 Стационарные точки находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего значения функция достигает на границе области в точке , а . Наименьшего значения функция достигает в точке , а .

21.3 Обозначим стороны треугольника и . По формуле Герона площадь треугольника , так как - полупериметр, то и становится функцией не трёх, а только двух переменных

Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции будем искать экстремум её квадрата . Находим стационарные точки . Исследованию подлежит только одна точка , так как остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи(не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра).

Проверяем точку М. В ней функция достигает максимума. Итак, при

Так как , то треугольник равносторонний.

22.1

22.2 Градиент функции Z и производная по направлению a связаны формулой - то есть производная по направлению равна проекции вектора-градиента на вектора.

В нашем случае

23.1 Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив систему

можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий, ограничивающих область пересечения.

Точки пересечения и . Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по , а внутренний по . Заметим, что в пределах изменения от -1 до 8 область интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху – двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на две и . Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Область ограничена сверху и снизу ветвями параболы и , а область снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой (при ).

23.2 По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат. Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно и относительно . Биссектрисы координатных углов и также являются осями симметрии кривой. Найдём точки пересечения с осями. При , получим две точки пересечения с осью и .

Аналогично при получим , . Добавим точки при

Построим кривую

Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную ось вдоль оси , а полюс в начало координат.

При решении геометрических и физических задач во многих случаях для упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса,

φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ= ρ₁(φ) и ρ= ρ₂(φ), где ρ₁(φ)≤ρ₂(φ), то что двойно интеграл вычисляется по формуле

, где F(ρ, φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется интеграл , в котором φ считается постоянным.

Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ, y= ρsinφ.

Получим

- уравнение линии в полярных координатах.

В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы интегрирования по φ будут от 0 до , а пределы интегрирования по ρ:

Итак

=

.