Напряжение при внецентренном растяжении и сжатии. Определение размеров ядра сечения.

На брус заданного поперечного сечения в точке D верхнего торца действует продольная сжимающая сила Р=300 кН (см. рис.). Требуется найти положение нулевой линии, определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения и построить ядро сечения.

Решение:

1. Нахождение положения главных центральных осей инерции и определение площади поперечного сечения

Так как поперечное сечение бруса (рис.1) имеет две оси симметрии, а они всегда проходят через центр тяжести сечения и являются главными, то главные центральные оси сечения х_с и у_с будут совпадать с этими осями симметрии.

Центр тяжести сечения С в этом случае определять не надо, так как он совпадает с геометрическим центром сечения.

Площадь поперечного сечения бруса равна:

2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции

Моменты инерции определяем по формулам:

Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

3. Определение положения нулевой линии

Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

где х_р=2,3 см и у_р=2 см – координаты точки приложения силы Р (точка Р рис.11). Отложив отрезки и соответственно на осях х_с и у_с и проводя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, на которой нормальные напряжения равны нулю ( ). На рис.1 эта линия обозначена n-n.

4. Определение наибольших сжимающих и растягивающих напряжений и построение эпюры напряжений

Точка D, координаты которой х_D=5,25 см и у_D=5 см, наиболее удалена от нулевой линии в сжатой зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К, имеющей координаты х_к= ‑5,25 см, у_к= ‑5 см.

По полученным значениям и строим эпюру нормальных напряжений (см. рис.11).

5. Построение ядра сечения

Для построения ядра сечения, учитывая, что сечение симметричное, рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I-I и II-II(см. рис.1).

Отрезки, отсекаемые касательной I-I на осях координат, равны:

Координаты граничной точки 1 ядра сечения определяются по формулам:

Касательная II-II отсекает отрезки =5,25 см, =¥.

Координаты граничной точки 2:

Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, так как сечение бруса симметричное. Учитывая это для касательных III-III и IV-IV, координаты граничных точек 3 и 4 будут:

= 0; = 15,2×10^-3 м;

= 23,0×10^-3 м = 0.

Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4 прямыми получим ядро сечения (рис.1).