Нормальное распределение.
Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид
(28) |
где a - любое действительное число, а >0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем (см. §4, п. 2). Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения F(x) [см. формулу (22)], имеем
График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 11 изображены два графика функции y= . График I соответствует значениям a=0, =1, а график II - значениям a=0, =1/2.
Покажем, что функция удовлетворяе условию (24), т.е. при любых a и выполняется соотношение
В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда
В силу четности подинтегральной функции имеем
Следовательно,
Но,
В результате получим
(29) |
Найдем вероятность . По формуле (23) имеем
Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая . Тогда , и
(30) |
Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (30) вводится функция
(31) |
называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (31) получим
Итак,
(32) |
Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.
1°. Ф(0)=0
2°. ; при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).
3°. Ф(-x)=-Ф(х), т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.
График функции Ф(х) изображен на рис. 12.
Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (32).
Пусть >0. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на , т.е. .
Так как неравенство равносильно неравенствам , то полагая в соотношении (32) , получим
Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем
(33) |
Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, =2.
Определить:
1) ;
2) ;
Решение:
1) Используя формулу (32), имеем
Из табл. II находим, что Ф(1)=0,34134, Ф(1,5)=0,43319. Следовательно
2) Так как a=0, то . По формуле (33) находим
Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы
Решение: По формуле (33) имеем
Следовательно, . Из табл. II находим, что этому значению соответствует , откуда
Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что случайная величина находится в интервале . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала . Этот факт называют правилом трех сигм.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1021;