Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.
В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.
Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.
Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал .
Выражаем «икс»:
Теперь найдем дифференциал:
Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида !
Формулы замены таковы:
Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети – оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет.
Опять – двадцать пять, заключительный пример:
Пример 25
Найти неопределенный интеграл
Проведем замену:
В данном примере:
Таким образом:
Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно:
Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!
Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал .
Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!
Решения и ответы:
Пример 2:Решение:
Проведем замену:
Интегрируем по частям:
Пример 3:Ответ:
Пример 4:Ответ:
Пример 6:Решение:
Интегрируем по частям:
Таким образом:
В результате:
Пример 8:Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:
Таким образом:
Пример 10:Решение:
Проведем замену:
Пример 11:Решение:
Замена:
Пример 12:Решение:
Замена:
Пример 14:Решение:
Дважды используем рекуррентную формулу
Пример 16:Решение:
Пример 18:Решение:
Используем формулу приведения: и формулу двойного угла: .
Пример 19:Решение:
Пример 21:Решение:
–3 – 3 = –6 – целое отрицательное число
Пример 23:Решение:
Пример 24:Решение:
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 3612;