Общая схема исследования функций и построения их графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли заданная функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Реализуем указанную схему.

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х = 1.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (-∞; 1) и (1; +∞).

В точке х = 1 функция терпит разрыв второго рода.

1. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда - четная функция) или ( для нечетной функции) для любых х и –х из области определения функции: Следовательно, и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
2. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

при х = 0 и - не существует при х = 1. Тем самым имеем две критические точки: х₁ = 0 и х₂ = 1. Но точка х₂ = 1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на 3 интервала:

В первом и третьем интервалах функция отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна, и данная функция возрастает. При переходе через точку х = 0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, А(0; -1) – точка минимума.

1. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: при и - не существует при х = 1. Разобьем числовую ось на три интервала: На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах > 0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку , меняет свой знак, поэтому - абсцисса точки перегиба. Следовательно, В точка перегиба графика функции.

1. x = 1 – точка разрыва функции, причем

.

Поэтому прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

.

Тогда

, .

Значит, прямая у = 0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рисунке.