Экстремум функции

Значение функции в точке хо называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от хо.

Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

В соответствующих точках графика функции касательная параллельна оси абсцисс , или оси ординат или нет определенной касательной (например, как в угловой точке).

Точками экстремума являются все точки, где функция меняет свое поведение и непрерывна.

Точки, при переходе через которые аргумента х возрастание функции сменяется на убывание, являются точками максимума, а точки, при переходе через которые аргумента х убывание функции сменяется на возрастание, являются точками минимума.

Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках, где ее производная меняет свой знак, а сама функция непрерывна.

Отсюда вытекает следующее правило исследования функции на экстремум.

Чтобы найти точки экстремума функции , в которых она непрерывна, нужно:

1. Найти производную и критические точки, в которых =0 или не существует, а сама функция непрерывна, и которые лежат внутри области определения функции.

2а. Определить знак слева и справа от каждой критической точки.

Если при переходе аргумента х через критическую точку хо:

1) меняет знак с + на -, то хо есть точка максимума;

2) меняет знак с - на +, то хо есть точка минимума;

3) не меняет знака, то в точке хо нет экстремума.

Иногда проще исследовать критические точки, где , по знаку второй производной, - вместо правила 2а можно пользоваться следующим правилом:

2б. Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Если в критической точке хо, где :

1) >0, то хо есть точка максимума;

2) <0, то хо есть точка минимума;

3) =0, то вопрос о наличии экстремума в точке хо остается открытым. Такую критическую точку, как и всякую другую, можно исследовать по правилу 2а.

Далее следует найти экстремумы функции, т.е. вычислить значения функции в найденных точках экстремума.

 








Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 1360;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.