Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула 
, и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается: 
Вторая по популярности буква для замены – это буква 
.
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак:
Но при замене у нас остаётся 
! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной 
, то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал 
. С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
Так как
, то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: 
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
и
В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл
(таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Готово.
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
Проведем замену: 
Значок 
не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
Также всем рекомендую использовать математический знак 
вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку 
обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.
А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1836;