Решить неопределенный интеграл – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Возьмем, например, табличный интеграл 
. Что произошло? 
превратился в функцию 
.
Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.
Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найденаправильно, справедливо следующее:
Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.
Вернемся к тому же табличному интегралу .
Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:
– исходная подынтегральная функция.
Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции 
всегда приписывается константа 
. При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.
Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере 
, 
, 
, 
и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: 
Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.
Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:
– константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
– интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.
Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называютсвойствами линейностиинтеграла.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Удобнее переписать его на бумагу.
(1) Применяем правило . На забываем записать значок дифференциала 
под каждым интегралом. Почему под каждым? – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:
(2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом 
– это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде
. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.
! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх. Например, 
– это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде 
совершенно не нужны. Аналогично: 
– тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде 
. Внимательно изучите таблицу!
(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: 
, 
и 
.
Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции 
, она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл – частный случай этой же формулы: 
.
Константу достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем – сбрасываем обратно в знаменатель.
Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Знаете, очень хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.
Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал:
Не стоит пугаться понятия дифференциал. Дифференциал – это почти то же самое, что и производная. Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок 
убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель :
Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно.
Как видите, дифференциал банально сводится к нахождению той же производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала до конца проверки. Хотя он корректнее или «солиднее» что ли.
На самом деле я вообще мог умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.
Дифференциал раскрывается следующим образом:
1) значок убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель .
Например: 
Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.
Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике является подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного 
, 
.
А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?
Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.
(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы 
, избавляясь от степени.
(2) Вносим 
в скобку, избавляясь от произведения.
(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).
(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .
(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь 
– она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе 
! Не нужно представлять ее в виде 
!
Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: 
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?
Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как 
, и ни в какую не получается правильный ответ 
, то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу.
Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.
В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье Интегрирование некоторых дробей.
! Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле. Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения 
Пример 6: Решение:
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 2326;