Частные производные второго порядка функции трёх переменных

Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных. Поэтому, если вы хорошо проработали урок Частные производные функции двух переменных, то будет всё очень просто.

Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или в другой записи: .

Частных производных второго порядка девять штук.

Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:
или – вторая производная по «икс»;
или – вторая производная по «игрек»;
или – вторая производная по «зет».

Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть:
или – смешанная производная «икс по игрек»;
или – смешанная производная «игрек по икс»;
или – смешанная производная «икс по зет»;
или – смешанная производная «зет по икс»;
или – смешанная производная «игрек по зет»;
или – смешанная производная «зет по игрек».

Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка:

Примечание: строго говоря, это не всегда так

На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух:
– «у два штриха дважды по игрек»;
– «дэ два у по дэ зет квадрат»;
– «у два штриха по икс по зет»;
– «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».

Примеры на нахождение частных производных 2-го прядка для функции трёх переменных на практике встречаются реже. Обычно они не очень сложные, но довольно большие по объему.

Пример 10

Найти все частные производные первого и второго порядка функции трёх переменных

Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:

Частные производные второго порядка рекомендую начинать искать со смешанных производных, поскольку это позволит выяснить, а правильно ли вообще найдены производные первого порядка.

Берём найденную производную и дифференцируем её по «игрек»:

Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»:

Равенство выполнено. Гуд.

Разбираемся со второй парой смешанных производных.
Берём найденную производную и дифференцируем её по «зет»:

Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»:

– всё путём.

Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных:

Нормалёк.

После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка.

Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание:

Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше таки потратить время и найти все производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике.

Пример 11

Найти все частные производные первого и второго порядка функции трёх переменных