Основные теоремы о пределах.

Пусть существуют и

Теорема1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Пример:

Теорема2: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

Пример:

Теорема3: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Пример:

Теорема4: Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если он не равен нулю.

Теорема5: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.

Пример:

Теорема6 «Первый замечательный предел»:

Пример:

Теорема7 «Второй замечательный предел»:

и

А
Д
С
L
x0
x0+∆x
∆x=dx
df(x)
∆f(x)
Определение производной функции в точке: ,

 

tg α = f ’(x0) = k - геометрический смысл производной функции в точке.

Физический смысл производной функции в точке: производная от координаты по времени есть скорость: , производная от скорости по времени есть ускорение:

Таблица основных формул дифференцирования:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11

12. 13. 14. 15.

Правила дифференцирования:

1) 2)

3) 4)

5)

Производная высшего порядка: Второй производной функции y=f(x) называется: у" = (у')'. Третьей производной функции у=f(х) называется: у'" = (у")'.

Производной n-го порядка функции y=f(x) называется: у(п) = n-1)'.

Пусть задана функция z = f(x;y).

Если существует предел , то он называется частной производной функции z = f(x; у) в точке M(x;y) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по x в точке M0(x0;y0) обычно обозначают символами

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x; у) по переменной y

Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x;y) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение:

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Пример2. Найти смешанные частные производные второго порядка функции

Решение: Так как и , то

и

Полный дифференциал функции 1-го порядка:

Полный дифференциал функции 2-го порядка определяется по формуле , т.е.

Содержание работы

Задание 1. Вычислите пределы функций:

1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

1.5)

2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

2.5)

3.1) 3.2) 3.3) 3.4) 3.5)

4.1) 4.2) 4.3)

4.4) 4.5)

5.1) 5.2) 5.3) 5.4)

5.5)

Задание 2. Найдите производную функции в точке ,если:

1) в точке

2) в точке .

3) в точке .

4) в точке .

5) в точке .

Задание 3. Вычислите 1-е производные функций:

1.1) 1.2)

1.3) 1.4)

1.5)

2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

2.5)

3.1) 3.2) 3.3) 3.4)

3.5)

4.1) 4.2) 4.3)

4.4) 4.5)

Задание 4. Найдите , если:

1)

2)

3)

4)

5)

Задание 5. Для функции z(x,y) двух переменных вычислите частные производные первого и второго порядка и полные дифференциалы первого и второго порядка:

1.1) 1.2) 1.3) 1.4) 1.5) и 1.6) 1.7) , если:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение производной.

2. Всякая ли непрерывная функция дифференцируема?

3. Найти производную функции у=х2 -3х по определению.

4. Что называется производной второго порядка?

5. В чем состоит геометрический смысл производной?

6. В чем состоит физический смысл производных I и II порядков?

7. Что называется дифференциалом функции?

8. Для какой функции ее дифференциал в каждой точки совпадает с приращением?

9. В чем заключается правило дифференцирования сложной функции?


 








Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 2415;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.024 сек.