Основные теоремы о пределах.
Пусть существуют 
и 
Теорема1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пример: 
Теорема2: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.
Пример: 
Теорема3: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
Пример: 
Теорема4: Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если он не равен нулю. 
Теорема5: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.
Пример: 
Теорема6 «Первый замечательный предел»:
Пример: 
Теорема7 «Второй замечательный предел»:
и 
| А |
|
| Д |
| С |
| L |
| x0 |
| x0+∆x |
| ∆x=dx |
| df(x) |
| ∆f(x) |
,
tg α = f ’(x0) = k - геометрический смысл производной функции в точке.
Физический смысл производной функции в точке: производная от координаты по времени есть скорость: 
, производная от скорости по времени есть ускорение: 
Таблица основных формул дифференцирования:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11 
12. 
13. 
14. 
15. 
Правила дифференцирования:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Производная высшего порядка: Второй производной функции y=f(x) называется: у" = (у')'. Третьей производной функции у=f(х) называется: у'" = (у")'.
Производной n-го порядка функции y=f(x) называется: у(п) = (уn-1)'.
Пусть задана функция z = f(x;y).
Если существует предел 
, то он называется частной производной функции z = f(x; у) в точке M(x;y) по переменной х и обозначается одним из символов: 
Частные производные по x в точке M0(x0;y0) обычно обозначают символами 
Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x; у) по переменной y
Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x;y) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).
Пример 1. Найти частные производные функции 
Решение:
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Пример2. Найти смешанные частные производные второго порядка функции 
Решение: Так как 
и 
, то
и 
Полный дифференциал функции 1-го порядка: 
Полный дифференциал функции 2-го порядка определяется по формуле 
, т.е.
Содержание работы
Задание 1. Вычислите пределы функций:
1.1) 
1.2) 
1.3) 
1.4) 
1.5) 
2.1) 
2.2) 
2.3) 
2.4) 
2.5) 
3.1) 
3.2) 
3.3) 
3.4) 
3.5) 
4.1) 
4.2) 
4.3) 
4.4) 
4.5) 
5.1) 
5.2) 
5.3) 
5.4) 
5.5) 
Задание 2. Найдите производную функции 
в точке 
,если:
1) 
в точке 
2) 
в точке 
.
3) 
в точке 
.
4) 
в точке 
.
5) 
в точке 
.
Задание 3. Вычислите 1-е производные функций:
1.1) 
1.2) 
1.3) 
1.4) 
1.5) 
2.1) 
2.2) 
2.3) 
2.4) 
2.5) 
3.1) 
3.2) 
3.3) 
3.4) 
3.5) 
4.1) 
4.2) 
4.3) 
4.4) 
4.5) 
Задание 4. Найдите 
, если:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Задание 5. Для функции z(x,y) двух переменных вычислите частные производные первого и второго порядка и полные дифференциалы первого и второго порядка:
1.1) 
1.2) 
1.3) 
1.4) 
1.5) 
и 
1.6) 
1.7) 
, если:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение производной.
2. Всякая ли непрерывная функция дифференцируема?
3. Найти производную функции у=х2 -3х по определению.
4. Что называется производной второго порядка?
5. В чем состоит геометрический смысл производной?
6. В чем состоит физический смысл производных I и II порядков?
7. Что называется дифференциалом функции?
8. Для какой функции ее дифференциал в каждой точки совпадает с приращением?
9. В чем заключается правило дифференцирования сложной функции?
Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 2527;