Упростим выражение, стоящее под модулем

, получим .

Учитывая, что под модулем стоит отрицательное число, получим , следовательно , и окончательно

(**) .

Если выполняется неравенство (**), то выполняется и неравенство (*). Найдем номер N(e)?

Очевидно, что если , то и неравенства (**) и (*) выполняются для всех п = 1,2,3,…, то есть N (e) = 0.

Если , то , и за номер N(e) можно взять целую часть [ ], то есть N (e) = [ ].

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей íх_пý и íу_пý есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей íх_пý и íу_пý.

4. Произведение сходящихся последовательностей íх_пý и íу_пý есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей íх_пý и íу_пý.

5. Частное двух сходящихся последовательностей íх_пý и íу_пý при условии, что предел последовательности íу_пý отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей íх_пý и íу_пý.

Вычисление пределов числовых последовательностей часто требует умения раскрывать неопределенности вида ^¥¤_¥. Если общий член последовательности представляет собой дробь с многочленами в числителе и знаменателе, надо разделить числитель и знаменатель дроби на п^к - старшую степень знаменателя, и использовать свойства пределов.

Пример 2.

Для ряда примеров на раскрытие неопределенности типа ^¥¤_¥ необходима техника работы с дробными показателями.

Пример 3.

Чтобы раскрыть неопределенность типа « ¥ - ¥ », в ряде случаев рекомендуется выражение под знаком предела умножить и соответственно разделить на сопряженное ему выражение. Примеры сопряженных выражений:

Пример 4.

При раскрытии неопределенностей вида иногда помогает прием деления и числителя и знаменателя на выражение, которое растет быстрее при .