ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция определена на некотором промежутке Х и пусть точка
Определение 1.3.1. Число А называется пределом функции в точке , если для любого числа существует число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Пример 1. Используя определение предела функции, доказать, что .
Решение. Возьмем любое . Необходимо по этому найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуем последнее неравенство:
, или .
Отсюда видно, что если взять, например , то для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется требуемое неравенство , а это и означает, что .
В частности, если , то , если , то и т.д.
Раскрытие неопределенностей вида и .
Если подстановка предельного значения вместо независимой переменной не дает значения предела, то имеет место неопределенность.
Для раскрытия неопределенности можно использовать те же приемы что и для последовательностей чисел.
Пример 2. Вычислить предел
Решение: Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим:
, так как дроби , при .
Неопределенность вида раскрывается путем разложения на множители выражений, стоящих в числителе и знаменателе дроби.
Пример 3. Вычислить предел .
Решение: Имеем неопределенность вида . Тогда получим:
Пример 4. Вычислить предел .
Решение: В числителе и знаменателе дроби стоит показательная функция , которая стремится к бесконечности при . Быстрее возрастает та функция, у которой основание больше, поэтому разделим числитель и знаменатель на :
.
Пример 5.Вычислить предел .
Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на :
.
Раскрытие неопределенностей вида .
Пример 6. Вычислить предел .
Решение: Подставляя единицу в выражение, стоящее под знаком предела, получаем неопределенность типа . Чтобы ее раскрыть, необходимо привести дроби к общему знаменателю и полученные выражения в числители и знаменатели разложить на множители.
.
Пример 7. Вычислить предел .
Решение: Имеем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, необходимо выражение, стоящее под знаком предела, домножить и разделить на сопряженное выражение, приводящее к формуле.
Дата добавления: 2014-12-04; просмотров: 1012;