ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛЫ
Определение 1.1.1.Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1, 2, …n ставится в соответствии по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел будет называться числовой последовательностью íxпý.
Примеры:
1) ín2ý=1, 22, 32….,n2…
2) í1+(-1)ný=0, 2, 0, 2,…
3) í ý=
Определение 1.1.2. Последовательность íxпý называется ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число M (соответственно m), такое что для всех элементов xn выполняется неравенство:
(соответственно (1.1.1)
При этом, число M (m) называется верхней гранью (нижней гранью), а неравенство ( условием ограниченности.
Определение 1.1.3. Последовательность íxпý называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть если существуют вещественные числа m и М, такие что для всех элементов xn выполняется условие:
(1.1.2)
Примеры:
1) Последовательность í ý= является ограниченной, так как любой ее элемент удовлетворяет условию (2) при любых
2) Последовательность ín2ý=1, 22, 32….,n2… ограничена снизу m=1 и неограниченна сверху.
Рассмотрим последовательность чисел:
х1, х2, х3,…., хn……
Определение 1.1.4. Число a называется пределом последовательности íхпý, если для любого e > 0 найдется такой номер N(e), что при n > N(e) выполняется неравенство
êхn - a ú < e (1.1.3)
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся и записывается это следующим образом:
Пример 1. Доказать по определению предела последовательности чисел, что .
Возьмем любое число
Посмотрим, при каких номерах (п) будет выполняться неравенство
(*) ,
где e - любое положительное число?
Дата добавления: 2014-12-04; просмотров: 1014;