Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением векторов = (х₁, х₂, …, х_п) и = (у₁,
у₂, …, у_п) называется число , равное сумме произведений соответствующих координат векторов и :

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

= .

, .

.

0, если , и , если .

Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Линейной комбинацией векторов называется вектор вида

, (1)

где , .

Пример. Пусть = (2;1;0), = (1;0;1), = (0;1;2). Вектор = (0;4;4) — линейная комбинация векторов , так как = 1· –2 · + 3 · .

В случае выполнения равенства (1) говорят, что вектор линейно выражается через векторы , или разлагается по этим
векторам.

Система ненулевых векторов вида

(2)

называется линейно зависимой, если существуют числа , , не все равные нулю, такие, что

. (3)

Если же равенство (3) для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой.

Базис и ранг системы векторов

Пусть дана система векторов (2).

Максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (2) называется такой частичный набор векторов этой системы, который удовлетворяет следующим условиям:

Векторы этого набора линейно независимы.

Любой вектор системы (2) линейно выражается через векторы этого набора.

Максимальная линейно независимая подсистема системы векто-
ров (2) называется ее базисом.

Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса.

Система векторов называется базисом пространства Rⁿ, если:

Векторы этой системы линейно независимы.

Всякий вектор из Rⁿ линейно выражается через векторы данной системы.

Матрицы

Прямоугольная таблица чисел вида

,

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей .

Здесь a_ij — действительные числа (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2,…, n), которые называются элементами матрицы. Индекс i указывает на номер строки, а индекс j — номер столбца. На их пересечении находится элемент a_ij.

Матрица, все элементы которой являются нулями, называется нулевой.

В случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матрица А называется квадратной матрицей n-го порядка:

.

Главной диагональю квадратной матрицы называется ее диагональ, составленная из элементов a₁₁, a₂₂,…, a_nn.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы — нулю.

Очевидно, строки матрицы A_n´m образуют систему n-мерных векторов .

Рангом матрицы назовем ранг этой системы .

Следующие преобразования матрицы А назовем элементарными:

Перестановка местами двух ее строк (столбцов).

Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Для практического вычисления ранга матрицы A ее удобно при помощи элементарных преобразований приводить к виду

.

Тогда ранг матрицы А равен числу единиц на диагонали матрицы A', т. е. числу r.