Функциональные ряды

Определение. Функциональным рядом называется ряд

члены которого являются функциями от x.

Давая переменной х определенное числовое значение х_о, мы получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение.Областью сходимости функционального ряда называется множество тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Понятно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от . Обозначим ее через

Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд

При любом значении он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом 1. Поскольку ряд геометрической прогрессии сходится при то данный ряд сходится при всех для которых Сумма этого ряда для

Итак, мы показали, что для всех

При всех других рассмотренный ряд расходится. Областью сходимости функционального ряда является интервал (-1,1).

Пример 2. Рассмотрим функциональный ряд

При любом конкретном значении мы получим в общем случае знакопеременный ряд. Для исследования его сходимости рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов и сравним его с рядом

который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем

А т.к. то ряд сходится, но тогда сходится и данный ряд при любом . Следовательно, областью сходимости функционального ряда является интервал

Пример 3. Дан функциональный ряд

Найдем область сходимости этого ряда. При постоянном значении данный ряд может быть знакопеременным. Поэтому рассмотрим ряд из абсолютных величин и исследуем его по признаку Даламбера. .

По признаку Даламбера при ряд сходится, при ряд расходится. Поскольку ряд из абсолютных величин сходится при то и ряд сходится при Остается рассмотреть поведение ряда при т.е. при Это можно сделать непосредственной подстановкой и

При получим знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.

При получим . Этот ряд можно записать в виде Ясно, что он расходится как гармонический. Итак, областью сходимости ряда является интервал .

Пример 4. Найдем область сходимости функционального ряда

составленного из показательных функций. При любом х это ряд с положительными членами вида который сходится при и расходится при . Поэтому данный ряд сходится при х>1. Итак, областью сходимости ряда является интервал

Пример 5.Члены функционального ряда