Признак Лейбница.

Если в знакочередующемся ряде

(все )

члены таковы, что

и то данный знакочередующийся ряд сходится.

Пример 1. Знакочередующийся ряд

сходится по признаку Лейбница, т.к.

и

Пример 2. Так же просто убедимся, что знакочередующийся ряд сходится.

1)

и

2)

При доказательстве признака Лейбница устанавливается тот факт, что сумма сходящегося знакочередующегося ряда есть положительное число и не превосходит первого члена, т.е.

Это позволяет дать простую оценку ошибки, которую мы совершаем, заменяя сумму ряда его частичной суммой

Действительно, если ряд сходится и его сумма нам неизвестна, то можно положить приближенно, что сумма равна частичной сумме Но тогда остаток ряда тоже представляет собой сходящийся знакочередующийся ряд, а его сумма не превосходит

Иначе говоря, если мы полагаем сумму ряда равной , то ошибка не превосходит первого отброшенного члена

Пример 3. Мы уже убедились, что ряд

сходится.

Оценим сумму этого ряда.

Если в качестве приближенного значения суммы мы возьмем то ошибка приближения будет меньше или равна Вычислим

Итак, полагая мы сделали ошибку, не превосходящую 0,01. Улучшить точность мы можем, если увеличим число членов ряда для подсчета частичной суммы