Предел последовательности

В основе математического анализа лежит понятие предела переменной величины, с помощью которого определяются другие понятия: непрерывность функции, производная, определенный интеграл и т.д.

Рассмотрим определение предела последовательности и некоторые способы отыскания предела последовательности. Для начала обратимся к примерам.

Последовательность имеет вид .

Ясно, что величина членов этой последовательности с ростом номера n неограниченно уменьшается, приближаясь к нулю.

Последовательность имеет вид .

Ясно, что с ростом номера n величина членов последовательности приближается к единице, т.е. члены последовательности отличаются от единицы тем меньше, чем больше номер n.

Последовательность имеет вид 1,8,27,64,125, ... .

Ясно, что величина членов этой последовательности неограниченно увеличивается.

Последовательность имеет вид .

В отличие от рассмотренного уже примера члены этой последовательности имеют разные знаки, но абсолютная величина их членов с ростом номера n неограниченно уменьшается, приближаясь к нулю. Какое бы (даже очень малое) положительное число мы не задали (например ), понятно, что, начиная с номера n=50, все последующие члены последовательности по абсолютной величине будут меньше выбранного числа т.е. для всех n > 50

Такие последовательности называют бесконечно малыми, их предел равен нулю и факт этот записывают так:

(Читают: предел при n стремящемся к бесконечности равен нулю).

Для последовательности аналогично

или .

Для последовательности запишем или

Что касается последовательности a_n=n³, то величина ее членов увеличивается неограниченно. Такие последовательности называют бесконечно большими, они не имеют предела и факт этот записывают так:

или .

(Читают: предел a_n равен бесконечности).

Здесь знак ¥ (бесконечность) означает только то, что последовательность неограниченно возрастает и не имеет предела.

Дадим точное определение предела последовательности.

Определение. Число А называется пределом последовательности а₁,а₂,...,а_n,..., если для любого положительного числа существует такой номер что для всех n> выполняется неравенство

Этот факт записывают так:

(Читают: предел последовательности при n стремящемся к бесконечности равен А).

Иногда пользуются записью: при n®¥×

Заметим, что в определении предела используют число (эпсилон). Это положительное, сколь угодно малое число. Число А может быть для различных последовательностей любым действительным числом.

В рассмотренных примерах: А=0.

А=1 для последовательности или

Рассмотрим последовательность Ее члены имеют вид . Покажем, что Для этого преобразуем разделив числитель почленно на знаменатель:

Та же последовательность запишется несколько иначе:

.

Теперь видно, что с ростом номера n члены последовательности отличаются от числа 2 все меньше и меньше. Для любого положительного числа e (например,e = ) можно найти номер (n_e=15) n_e такой, что для всех номеров n>n_e (n>15) выполняется неравенство <e.

А именно:

и т.д.

Заметим, что не всякая последовательность обязательно имеет предел.

Рассмотрим последовательность

Ее члены: т.е. последовательность представляет собой 0,2,0,2,0,2,... .

Ясно, что члены этой последовательности остаются равными либо 0, либо 2 и не приближаются ни к какому пределу, т.е. не существует.

Вспомним уже знакомые из курса средней школы последовательности: арифметическую и геометрическую.

Арифметическая последовательность где

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Геометрическая последовательность

Сумма первых n членов геометрической прогрессии