Числовые множества

Понятие множества является одним из основных первичных понятий современной математики. В жизни мы постоянно встречаемся с этим понятием. Мы говорим о множестве членов данного коллектива, о множестве точек на прямой линии, о множестве целых чисел, о множестве улиц города, о множестве планет солнечной системы, о множестве квартир в доме и т.д. и т.п.

Каждое множество состоит из элементов. В зависимости от их числа множества делятся на конечныеи бесконечные. Так, множество целых чисел содержит бесконечно много элементов; его элементами являются все целые числа (положительные, отрицательные и нуль). Множество целых чисел принято обозначать Z и записывать

Z={...,-n,...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,n,...}

Mножество всех целых положительных чисел называют множеством натуральных чисел и записывают

N={1,2,3,...,n,...}.

Конечные множества могут состоять из одного или нескольких элементов или вообще не содержать элементов. Множество А={a,b,c} состоит из трех элементов. Множество корней уравнения состоит из двух элементов (из двух чисел 3 и 1) и может быть записано {3,1}.

Множество корней уравнения (х-1)(х+2)(х-5)=0 состоит из трех элементов и может быть записано {1;-2;5}.

Множество корней уравнения 2х+3=0 состоит из одного элемента:

Уравнение х²+1=0 в области действительных чисел не имеет корней. Говорят, что множество действительных корней уравнения х²+1=0 пусто. Всякое пустое множество обозначают знаком Æ.

Теория множеств была построена к концу ХIX в. Она заняла в математике центральное место как логическая основа всех существовавших в то время математических дисциплин. В наше время теория множеств проникает также в другие науки, как гуманитарные, так и естественные, в самые различные области научных исследований.

В математике нет определения понятия множества, как нет определения понятия точки, прямой. Понятие множества выделилось из представлений о совокупности, собрании, классе, семействе предметов.

Будем обозначать множества прописными буквами А,B,C,...N,Z,R,..., а объекты множеств (элементы) - строчными: а,b,c,...,n,x,y,z,... . Говоря об определенном множестве А, мы полагаем, что для каждого объекта х есть всегда одна из двух возможностей: либо объект х входит в множество А, в этом случае записывают хÎА, либо не входит, тогда записывают х А.

Задать множество можно перечислением его элементов, например

А={7;2;3}, B={0;-1}.

Можно задать множество, указав общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, А - множество всех натуральных чисел, делящихся на 3.

Можно то же множество записать так:

А={3;6;9;...,3n,...}