Бесконечные ряды

Приведем слова виднейшего нашего математика А.Я. Хинчина:

«Среди различных математических аппаратов, могущих служить орудиями исследований функций, первое место по простоте, гибкости, прозрачности и удобству употребления, без сомнения, занимают функциональные ряды».

Начнем рассмотрение с бесконечных числовых рядов.

Определение: Бесконечным числовым рядом называется выражение

где

числовая последовательность.

Числа называют членами ряда, - общий член ряда. Иногда числовой ряд записывают с помощью символа суммирования å (сигма).

Рассмотрим суммы

— n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда и вычислим ее предел (если он существует):

Определение.Числовой ряд

(1)

называется сходящимся, если существует предел его

частичных сумм В этом случае предел

называют суммой ряда и записывают

Если же не существует , то ряд называют расходящимся. В частности, если , ряд расходится.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для бесконечного числового ряда

1-1+1-1+1-1+...

найдем частичные суммы:

.

Последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,... не имеет предела следовательно, ряд 1-1+1-1+1-1+... расходится.

Пример 2.Рассмотрим ряд

.

Найдем его частичные суммы, преобразовав вначале дробь в разность:

Найдем предел последовательности частичных сумм:

т.к. .

Следовательно, ряд сходится и

.

Пример 3. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии

Здесь - первый член, - знаменатель прогрессии.

Сумма членов прогрессии определяется по формуле

Преобразуем таким образом: и рассмотрим три случая:

1) Тогда неограниченно уменьшаясь стремится к нулю

и существует

2) Тогда неограниченно возрастает при возрастании

и не существует

3) Если , т.е. то ряд геометрической прогрессии имеет вид:

при расходится

при расходится.

Итак,ряд геометрической прогрессии

сходится при и сумма этого ряда .

При ряд геометрической прогрессии расходится.

Например, ряд сходится, т. к. и его сумма

.

Ряд расходится, т. к.

Докажем теорему о необходимом условии сходимости ряда.

Теорема: Если ряд сходится, то

т. е.

предел его общего члена стремится к нулю.

Действительно, . А так как ряд сходится, то существует . Но тогда и

Понятно, что что и требовалось доказать.

Замечание. Если необходимый признак сходимости ряда не выполняется, т. е. если то ряд сходиться не может, ряд расходится.

Например, числовой ряд

расходится, т. к. его общий член

и .

Условие является необходимым условием сходимости, оно не является достаточным для сходимости, т. е. если , то ряд может расходиться.

В качестве такого ряда приведем так называемый гармонический ряд:

Его общий член и , но гармонический ряд расходится. Доказательство этого мы дадим позже.

Интуитивно понятны и следующие рассуждения.

Рассмотрим ряд

Пусть k – любое натуральное число. Ряд называется остатком ряда . Он получается отбрасыванием первых k его членов.

Справедлива теорема: Ряд и его остаток одновременно сходятся или расходятся.

Например, ряд геометрической прогрессии

сходится,

т. к. , и его сумма

Тогда сходится и ряд т. к. он является остатком ряда , но его сумма равна

Из суммы первоначального ряда вычитаются отброшенные члены 1 и . Проверим, что сумма найдена верно. Остаток ряда тоже является рядом геометрической прогрессии с тем же знаменателем и первым членом . По формуле суммы

Мы можем утверждать, что ряд расходится, т. к. он является остатком расходящегося гармонического ряда .

Ранее мы доказали сходимость ряда

Тогда сходится, например, ряд

.