Теорема Сильвестра

Соотношение Сильвестра представляет собой способ эффективного выражения функций от матрицы, если только эта функция может выражаться в виде матричного полинома.

Пусть матрица А имеет n различных собственных чисел. Тогда для произвольного матричного полинома справедливо разложение

,

где

В качестве примера вычислим функцию для матрицы

, , , .

Функция может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда. Следовательно, теорема Сильвестра может быть применена. Соотношение Сильвестра позволяет непосредственно получить вместо того, чтобы суммировать бесконечный ряд по степеням матрицы А.

В силу соотношения Сильвестра для данной матрицы имеем:

, , .

Вычислим матрицы и , соответствующие собственным числам ,

, .

Функция от матрицы определяется следующим образом: