Линейная динамическая система
Понятие линейной динамической системы на уровне физических представлений обычно опирается на так называемый принцип суперпозиции, заключающийся в том, что общий выходной эффект от совокупности входных воз- действий на систему может быть получен суммированием выходных величин от каждого воздействия в отдельности. Существует даже мнемоническая формула суперпозиции: «Следствие от суммы причин является суммой следствий от каждой из причин в отдельности». Однако с точки зрения общих определений, сформулированных в предыдущих параграфах, нам нет необходимости прибегать к столь неточным и туманным, с точки зрения математики, исходным данным. Сформулируем понятие линейной динамической системы, опираясь на определения 5.1 и 5.2.
Определение 5.6. Линейной динамической системой называется математическая модель совокупности взаимосвязанных элементов, удовлетворяющая аксиомам определения 5.1 и следующим условиям:
1) Заданы линейные (векторные) пространства состояний системы Х, мгновенных входных воздействий U, их допустимых значений Ω, мгновенных значений выходных величин У и их допустимых значений Г.
2) Переходная функция состояния созначениями
,
является линейной на множестве , то есть имеет место соотношение
, (5.21)
и удовлетворяет дифференциальному уравнению
. (5.22)
3) Выходное отображение линейно на множестве Х, то есть справедливо соотношение
. (5.23)
Мы дали определение обыкновенной линейной динамической системе, то есть системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями. Конкретизируем это общее определение, используя свойства линейного пространства.
Пусть в линейном пространстве Х определен базис и установлена размерность пространства n. Пусть, далее, пространство входных сигналов Ω имеет размерность . Состояние системы в данный момент времени t будет определяться вектором Х в пространстве состояний. Тогда производная этого вектора , также являющаяся вектором, может быть разложена по координатам базиса на n составляющих , ,…, . В силу условия 2 определения 5.6 правая часть уравнения (5.22) линейна на множестве , то есть она является линейной комбинацией векторов X и U. Следовательно, составляющие вектора можно представить в виде
, (5.24)
где функции , являются координатами векторов X и U.
Введем запись векторов в виде матриц-столбцов
, . (5.25)
и запись координатных функций в виде матриц
, . (5.26)
Матрица F (t) имеет n строк и n столбцов, матрица G(t) имеет n строк и т столбцов. Используя правило умножения матриц, уравнения (5.24) можно записать в виде
. (5.27)
Пусть пространство выходных величин F имеет размерность р. Тогда, в силу условия 3 определения 5.6, формула (5.23) может быть представлена в виде линейной комбинации составляющих вектора Х и проекций вектора Y:
(5.28)
Записывая вектор Yв виде матрицы-столбца
, (5.29)
и вводя матрицу координатных функций
, (5.30)
получим соотношения (5.28) в виде
. (5.31)
Определение 5.7. Линейная динамическая система (конечномерная и с непрерывным временем) описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:
. (5.32)
Если матрицы F, G и Н не зависят от времени, линейная динамическая система будет стационарной.
Первое уравнение (5.28) называется уравнением состояний системы, второе - уравнением выходных величин.
Дата добавления: 2014-12-27; просмотров: 2459;