Диагонализация матриц и функции от матриц

Операции с диагональными матрицами выполняются гораздо проще, чем операции с произвольными матрицами, поэтому приведение к диагональной форме всегда желательно. Диагональные матрицы при умножении коммутируют между собой, произведение диагональных матриц всегда приводит к диагональной матрице, уравнения разделяются по переменным и разрешаются непосредственно. Однако приведение матрицы к диагональному виду выполнить совсем не просто, так как неизвестно, каким образом выбрать преобразующую матрицу S в преобразовании подобия.

Пусть все собственные числа матрицы А различны и им соответствует n линейно независимых собственных векторов . Если принять их за новый базис пространства, то получим диагональную матрицу, подобную исходной.

Таким образом, базис из собственных, векторов замечателен тем, что преобразование подобия в нем имеет диагональную форму.

Построим матрицу, столбцы которой состоят из элементов собственных векторов, умноженных на произвольное, не равное нулю число :

. (4.21)

Матрица вида (4.21) называется модальной. Преобразование подобия с помощью модальной матрицы М

,

приводит к диагональному виду. Здесь Л - диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены собственные числа .

Использование модальной матрицы в качестве преобразующей связано с вычислением всех собственных чисел и принадлежащих этим собственным числам собственных векторов. В вычислительной математике эта проблема известна под названием полной проблемы собственных значений. Эта проблема является достаточно сложной при больших порядках матрицы.

Если имеется какой-либо способ грубого определения собственных векторов, то операция преобразования подобия выделит по абсолютной величине диагональные элементы над остальными, т. е. сделает их доминирующими. Такая псевдодиагонализация является полезной в том отношении, что позволяет ускорить сходимость многих вычислительных про­цессов при решении задач на цифровых вычислительных машинах.

При различных собственных числах столбцы модальной матрицы могут выбираться равными или пропорциональными произвольному ненулевому столбцу . Здесь под понимается транспонированная матрица алгебраических дополнений, называемая иногда присоединенной или союзной.

Так как столбцы линейно зависимы для данного , то каждое , определяет лишь один столбец мо­дальной матрицы.

Особого рассмотрения заслуживает случай кратных собственных чисел. Это имеет важное значение в машинных вычислениях, когда элементы матриц задаются неточно и резкая грань между простыми и кратными собственными числами стирается. При малых деформациях элементов матрицы возможен переход от матрицы с кратными собственными числами к матрице с простыми собственными числами, и наоборот. Поэтому исследование случая кратных собственных чисел имеет важное значение.

Если матрица имеет кратные собственные числа, то она может быть приведена к канонической форме Жордана. Каноническая форма Жордана является клеточно-диагональной матрицей, в которой на главной диагонали расположены канонические ящики, или клетки Жордана. Канонический ящик имеет вид

.

На главной диагонали расположено собственное число, повторяющееся столько раз, какова его кратность, над диагональю расположены элементы, равные единице, а все остальные элементы равны нулю. Канонический ящик не может быть упрощен за счет преобразования подобия. Типичная Жорданова форма матрицы имеет вид

.

Канонический ящик имеет только один собственный вектор. Минимальный полином ящика совпадает с характеристическим; он равен , где - порядок ящика.

Пример 4.8 Привести матрицу

,

к диагональной форме. В качестве преобразующей матрицы в преобразовании подобия выбрать модальную матрицу.

Корни характеристического уравнения равны

, , .

Собственные векторы, соответствующие

, .

Модальная матрица

, .

Следовательно,

.