Координаты центра тяжести плоской фигуры. Центр тяжести треугольника, сектора круга

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

, , (2)

где - площадь всей пластины; -площади ее частей. Точку, координаты которой определяются формулами (2), называют центром тяжести площади .

1. Центр тяжести площади треугольника.

Разобьем площадь треугольника ABD прямыми, параллельными стороне AD, на n узких полосок; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника. Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.

.

Для прямоугольного треугольника центр тяжести лежит на пересечении отрезков, откладываемых от прямого угла на расстояние 1/3 длины соответствующего катета.

2. Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом . Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на n секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа n, эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса . Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ совпадает с центром тяжести дуги DE, т.е. центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

.