Условия равновесия системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно центра и оси

Условия равновесия: для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия , .

Эти условия являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно эти же условия являются и достаточными, потому что при система сил может приводиться только к паре с моментом , а так как , то имеет место равновесие.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О (оси z) равен сумме моментов сил системы относительно того же центра (оси z).

Пусть система сил , , … приводится к равнодействующей , линия действия которой проходит через некоторую точку С. Приложим в этой точке силу . Тогда система сил , , … , будет находиться в равновесии и для нее должно выполняться условие , т. е. для данных сил (включая силу ) должно быть . Но так как и обе силы направлены вдоль одной и той же прямой, то . Подставляя это значение в предыдущее равенство, найдем из него, что

.

Проецируя полученное равенство на ось z, проходящую через центр О, получим

Тем самым теорема доказана. Ею часто бывает удобно пользоваться при вычислении моментов сил.