Основная форма условий равновесия.

=> , ;

Но , , .

Следовательно, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:

, , .

Необходимость этих условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или , или ( ) и равновесия не будет. Докажем их достаточность. Если для данной системы сил выполняются только первые два из условий то для нее и . Такая система сил иметь равнодействующую , одновременно проходящую через точки А и В (рис.). Но по третьему условию должно быть . Так как ось Ох проведена не перпендикулярно к АВ, то последнее условие может быть выполнено, только когда R=0, т. е. когда имеет место равновесие.

3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

, , .

Необходимость этих условий, как и в предыдущем случае, очевидна. Достаточность условий следует из того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В и С, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении этих условий имеет место равновесие.

Равновесие плоской системы параллельных сил.В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно направить ось Ох перпендикулярно силам, а ось Оу параллельно им (рис.). Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и сумма их проекций на эту ось обратится в тождество вида . В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:

, , где ось Оу параллельна силам.

Две другие формы условий равновесия для параллельных сил имеют вид:

, .

При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.