Відображення і функції

Означення 1.3.18. Відношення , задане на множинах називають функціональним, якщо для будь-якого елемента існує не більше одного елемента , такого, що .

Якщо ж деякого такий елемент існує, то його позначають і записують .

Нехай . Очевидно, для будь-якого функціонального відношення , заданого на множині виконується включення , де – область визначення відображення. Коли ж , то відношення називають повністю визначеним, у випадку – частково визначеним або частковим.

Означення 1.3.19. Відношення , задане на множинах називають відображенням або функцією, якщо – функціональне і часткове. Позначують: .

Число називають арністю функції .

Якщо та існує , такий, що , то елемент називають образом елемента при відображенні , а – прообразом елемента .

Відношення називають відображенням тоді і тільки тоді, коли для довільного : . Множину всіх таких елементів називають множиною значень відображення .

Відображення множини на множину називають взаємно однозначним відображенням або взаємно однозначною відповідністю тоді і тільки тоді, коли обернене відношення є відображенням В на .