Рефлексивні, симетричні і транзитивні відношення
Означення 1.3.4. Бінарне відношення R називають рефлексивним у множині , якщо будь-який елемент перебуває у відношенні сам з собою ( ).
Означення 1.3.5. Бінарне відношення R називають рефлексивним, якщо з того, що слідує, що і .
Наприклад, відношення рефлексивне у множині , проте не рефлексивне у множині .
Рефлексивними є відношення рівності, подільності, паралельності, конгруентності, подібності фігур, універсальне та діагональне відношення.
Означення 1.3.6. Бінарне відношення R називають антирефлексивним (іррефлексивним) у множині , якщо жоден елемент не перебуває у відношенні сам з собою ( ).
Наприклад, відношення антирефлексивне у множині . Анти рефлексивними є відношення “не дорівнює”, “менше”, “більше”, перпендикулярності тощо.
Порожнє відношення прийнято вважати як рефлексивним, так і антирефлексивним.
Якщо відношення є ні рефлексивним, ні анти рефлексивним, то його називають не рефлексивним.
Наприклад, відношення не рефлексивне, оскільки елемент 2, на відміну від всіх інших, не перебуває у відношенні сам з собою .
При зображенні рефлексивного відношення з допомогою графіка видно, що всі точки діагоналі належать графіку відношення.
Означення 1.3.7. Бінарне відношення R називають симетричним, якщо з того, що слідує, що .
Наприклад, відношення симетричне. Симетричними є відношення паралельності, перпендикулярності, подібності, конгруентності, універсальне відношення тощо.
Для симетричного відношення його графік симетричний відносно діагоналі – бісектриси координатного кута.
Означення 1.3.8. Бінарне відношення R називають антисиметричним, якщо з того, що слідує, що .
Наприклад, відношення антисиметричне. Антисиметричними є відношення включення, “менше”, “більше”, “менше дорівнює” тощо.
Відношення рівності, діагональне та порожнє вважають як симетричними, так і антисиметричними.
Означення 1.3.9. Бінарне відношення R називають транзитивним, якщо з того, що і слідує, що .
Наприклад, відношення транзитивне. Транзитивними також є відношення “менше”, “більше дорівнює”, подільності, паралельності, подібності, включення, діагональне, порожнє та універсальне відношення тощо.
Не транзитивними є відношення “не дорівнює”, перпендикулярності, належності тощо.
Графік транзитивного відношення має властивість і навпаки.
Операція обернення зберігає 5 властивостей відношень: рефлективність, антирефлексивність, симетричність, антисиметричність і транзитивність.
Означення 1.3.10. Відношення R* називають транзитивним замиканням відношення R на множині А, якщо тоді і тільки тоді, коли у множині А існує послідовність елементів така, що і , , ..., .
Наприклад, нехай – множина точок на площині і , , якщо точки і з’єднані відрізком. Тоді , якщо існує ламана лінія, яка з’єднує точки і .
Дата добавления: 2014-12-22; просмотров: 2923;