Плоскости проекций

С помощью одной замены плоскости проекций решаются четыре основные типовые задачи:

· прямую общего положения преобразовать в прямую уровня;

· прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую;

· плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость;

· проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Рассмотрим их решение более подробно.

Первая задача. Прямую l (l₁, l₂) общего положения преобразовать в прямую уровня.

Для того, чтобы заданную прямую l преобразовать в прямую уровня, достаточно заменить одну из плоскостей проекций, например плоскость П₂, на новую плоскость П₄, перпендикулярную к незаменяемой плоскости П₁ и параллельную данной прямой l . Тогда в системе (П₁, П₄) прямая l будет являться прямой уровня.

Чтобы проделать эту замену на комплексном чертеже (рис.6.7), необходимо сначала провести новую ось проекций x₁₄ - горизонтальный след горизонтально-проецирующей плоскости П₄,- параллельно горизонтальной проекции l₁ прямой l. Затем нужно провести новые линии связи через незаменяемые проекции 1₁ и 2₂ двух произвольных точек 1 и 2 прямой l. Эти линии связи должны быть перпендикулярны к новой оси x₁₄. На новых линиях связи от новой оси откладываем высоты точек 1 и 2, измеренные от заменяемой проекции l₂ до старой оси x₁₂. Получаем новые проекции 1₄, 2₄ точек 1 и 2, которые определят искомую фронтальную проекцию прямой l ₄ на плоскость П₄.

После проведённой замены плоскости мы достигли следующего:

1) прямая l (l ₁,l ₄) стала линией уровня (фронталью);

2) отрезок 1₄2₄ равен натуральной величине отрезка 12 прямой l;

3) угол a, образованный проекцией 1₄2₄ с осью x₁₄, равен натуральной величине угла наклона прямой lк горизонтальной плоскости проекций П₁.

Очевидно, что рассмотренную задачу можно решить также заменой плоскости П₁ на плоскость П₅, перпендикулярную к П₂ и параллельную прямой l. На комплексном чертеже новая ось x₂₅ должна проводиться параллельно фронтальной проекции l₂ прямой l. Построив новую горизонтальную проекцию прямой l₅, получим угол b, равный натуральной величине угла наклона прямой l к плоскости П₂. Кроме того, отрезок 1₅2₅ также равен натуральной величине отрезка 12 прямой l.

Рис.6.7

Вторая задача. Прямую уровня l преобразовать в проецирующую прямую.

Для решения задачи новую плоскость проекций необходимо провести перпендикулярно заданной прямой уровня l . Кроме того, она должна быть перпендикулярна к незаменяемой плоскости проекций. На комплексном чертеже (рис.6.8) новую ось проекций необходимо проводить перпендикулярно к проекции прямой на той плоскости проекций, которой она параллельна. Если заданная прямая является горизонталью, проводить нужно перпендикулярно горизонтальной проекции прямой l₁. Если заданная прямая является фронталью, проводить нужно перпендикулярно фронтальной проекции прямой l₂. Это связано с тем, что, согласно теоремы о проецировании прямого угла, прямой угол с горизонталью сохраняется на плоскости П₁, а прямой угол с фронталью – на П₂.

Т.к. в данном случае прямая l является горизонталью, новая ось проекций x₁₄ проводится перпендикулярно l₁ (x₁₄ ^ l₄). Новые линии связи, проведённые через точки 1₁ и 2₁, будут совпадать с прямой l₄. Откладывая на линии связи от новой оси x₁₄ отрезок, равный высоте точек прямой l относительно плоскости П₁, получим проекцию заданной прямой на плоскость П₄ виде точки l₄=1₄=2₄.

Рис.6.8

Таким образом, после проведённой замены плоскости проекций, мы перешли к системе плоскостей (П₁, П₄). При этом прямая l становится проецирующей прямой относительно плоскости П₄; все ее точки проецируются на плоскость П₄ в виде одной точки l₄.

Третья задача. Плоскость S общего положения преобразовать в проецирующую плоскость.

Для решения задачи новая плоскость проекций должна быть проведена перпендикулярно заданной плоскости общего положения. Как известно, две плоскости взаимно перпендикулярны, если каждая из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. В качестве прямой плоскости, перпендикулярно которой проводится вторая плоскость, используются прямые уровня, т.к. только с ними прямой угол сохраняется на плоскостях проекций. Поэтому в заданной плоскости необходимо провести горизонталь или фронталь и перпендикулярно этой прямой уровня ввести новую плоскость проекций. Очевидно, что если выбрать горизонталь, то в новой системе плоскостей проекций заданная плоскость преобразуется во фронтально проецирующую плоскость. Если же выбрать фронталь, в новой системе плоскостей проекций заданная плоскость преобразуется в горизонтально проецирующую плоскость.

На комплексном чертеже (рис.6.9) построения будем проводить в следующей последовательности. Проведем в заданной плоскости S горизонталь h. Заменим плоскость П₂ на новую плоскость П₄. Для этого новую ось x₁₄ проведём перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h₁ (x₁₄ ^ h₁). Затем строим на соответствующих новых линиях связи новые проекции точек А₄, В₄, С₄, которые расположатся на одной прямой - новой проекции плоскости S₄.

Рис.6.9

Итак, заменив плоскость П₂ плоскостью П₄, мы достигли следующего:

1) плоскость S(ΔABC) стала фронтально проецирующей;

2) угол a, образованный проекцией А₄В₄С₄ с осью x₁₄, равен натуральной величине угла наклона плоскости S к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Четвертая задача. Проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Для решения задачи новая плоскость проекций должна быть проведена параллельно заданной проецирующей плоскости. На комплексном чертеже новую ось проекций проводят параллельно вырожденной проекции плоскости. В данном случае (рис.6.10) заданная плоскость является горизонтально проецирующей. Значит необходимо заменить плоскость П₂ на плоскость П₄. Новую ось x₁₄ нужно провести параллельно горизонтальной проекции плоскости Σ₁.

Построив новые проекции точек А₄, В₄, С₄, получим искомую проекцию плоскости Σ₄. В результате такой замены плоскости проекций мы получили следующее:

1) заданная горизонтально проецирующая плоскость Σ(ΔABC) стала фронтальной плоскостью уровня относительно плоскости II₄;

2) проекция Σ₄ равна натуральной величине треугольника ABC.

Рис.6.10.