Построение графика функции

При построении графика функции сначала проводят исследование функции. При этом придерживаются следующего (примерного) плана:

1) находят область определения функции; 2) указывают точки пересечения с осями координат; 3) определяют точки разрыва и устанавливают тип разрыва; 4) с помощью первой производной устанавливают интервалы монотонности (т.е. интервалы возрастания и убывания) функции и находят точки экстремума и значения функции в этих точках; 5) с помощью второй производной устанавливают интервалы выпуклости, вогнутости и находят точки перегиба; 6) находят асимптоты функции. Затем по этим данным строят график функции.

Пример 3. Построить график функции .

Решение.1) Нулями знаменателя являются и . Следовательно, областью определения функции является множество .

2) Найдём точки пересечения с осями координат:

а) c осью 0x . Найдём нули функции: лишь при x = 0; значит, график функции пересекает ось 0x (или касается оси 0x ) в точке O(0; 0) – начале координат;

б) c осью 0y . Для нахождения общей точки графика функции и оси 0y следует найти f(0): f(0) = 0. Поэтому график пересекает ось 0y в точке O(0; 0).

3) Наша функция представляет собой отношение двух многочленов, поэтому она непрерывна всюду, за исключением нулей знаменателя: и x = 8. Найдём левые и правые пределы в этих точках.

Для точки :

;

Отсюда делаем вывод, что является точкой разрыва второго рода.

Для точки x = 8:

;

Поэтому x = 8 также является точкой разрыва второго рода.

4) Имеем

Критическими точками функции являются её стационарные точки , , . Знак совпадает со знаком выражения .

Видно, что функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках , , . Следовательно, точка является точкой максимума (на рисунке ей соответствует «горка»), точка – точкой минимума (ей соответствует «впадина»). Стационарная точка не является точкой экстремума. Найдём значение функции в точках экстремума: f( ) » –7,57; f( ) » 25,35.

5) .

Трёхчлен при всех x (его дискриминант меньше 0). Поэтому знак совпадает со знаком дроби .

Составим схему. Видно, что функция выпукла в интервалах (–¥; –4)

и (0; 8) и вогнута в интервалах (–4; 0) и (8; +¥). При переходе через точки – 4, 8, 0 меняет свой знак. Поэтому точка x = 0 является точкой перегиба (в точках x = - 4, x = 8 функция не определена).

6) Так как , , то прямые и

x = 8 являются вертикальными асимптотами. Найдём наклонные асимптоты при x ® –¥ и при x ® +¥. Уравнения этих асимптот будем искать в виде y = kx + b:

а) x ® –¥.

Таким образом, прямая y = x + 4 является асимптотой при x ® –¥;

б) при x ® +¥ получим тот же результат: прямая y = x + 4 является асимптотой.

Основываясь на полученных данных, построим график функции.

Пример 4. Построить график функции .

Решение. 1) Областью определения функции является (–¥; +¥).

2) Найдём точки пересечения с осями координат:

а) c осью 0x. Функция не имеет нулей, следовательно, она не имеет общих точек с осью 0x;

б) c осью 0y. Имеем . Точка (0; e^-4) является точкой пересечения графика с осью 0y.

3) Наша функция является суперпозицией непрерывных функций, поэтому она непрерывна на всей числовой оси.

4) Имеем

Функция имеет одну стационарную точку . Функция возрастает на промежутке (–¥; 2) и убывает на промежутке (2; +¥), точка x = 2 является точкой максимума. Максимум функции равен .

5) .

Функция имеет нули x₁=2– , x₂=2+ . Она выпукла на интервале
(2– ; 2+ ) и вогнута на интервалах (–¥; 2– ), (2+ ; + ¥). Точки x = 2 – и x = 2 + являются точками перегиба.

6) Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то она не имеет вертикальных асимптот. Найдём наклонные асимптоты.

а) x ® –¥ . Ищем асимптоту в виде y = kx + b.

Таким образом, прямая является асимптотой функции при

x ® –¥.

б) При x ® +¥ получим тот же результат: является асимптотой при x ® +¥.

По полученным данным построим график функции.

Пример 5. Построить график функции

Решение.1) Область определения функции , .

2) Точки пересечения с осями координат

; ; ;

;

3) Функция непрерывна на всей области определения.

Следовательно, производная в точке не определена.

, , стационарная точка.

Функция убывает на промежутках и возрастает на промежутке

Следовательно, точка является точкой максимума; критическая точка, является точкой минимума.

График данной функции приведен на рисунке.

5. Элементарные преобразования графиков

Напомним некоторые приемы, которые часто используются при построении графиков функций. Пусть построен график функции . Тогда:

1) график функции получается из графика функции переносом вдоль оси 0X на a единиц влево, если , или на единиц вправо, если ;

2) график функции получается из графика функции переносом на b единиц вверх, если b > 0, или на единиц вниз, если ;

3) график функции получается из графика функции сжатием вдоль оси 0X в раз, если , или растяжением в раз, если ;

4) график функции получается из графика функции растяжением вдоль оси 0Y в c раз, если (при сжатием в раз);

5) графики функций и симметричны относительно оси 0Y; графики функций и симметричны относительно оси 0X.

Пример 6. Построить график функции

а б

в г

Подчеркнем, что величина сдвига вдоль оси определяется той постоянной, которая прибавляется непосредственно к аргументу , а не к аргументу . Поэтому для нахождения этой постоянной функцию преобразуют к виду . Здесь сдвиг вдоль оси на единиц.