Возрастание и убывание функции. Точки экстремума

Говорят, что функция возрастает (убывает) на интервале , если для любых различных точек , из справедливо неравенство , т.е. если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Теорема 1. Если функция f(x) дифференцируема на (a; b) и ( ) для любого , то f(x) возрастает (убывает) на (a, b).

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(x), определённой в некоторой окрестности x₀, если существует некоторая окрестность (x₀ – d; x₀ + d) этой точки, такая что для любого xÎ(x₀ – d; x₀ + d), x ¹ x₀ справедливо неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)); при этом f(x₀) называют максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в промежутке (a,b) и x₀Î(a, b) является точкой экстремума f(x), то .

Точки, в которых , называются стационарными точками f(x). Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки x₀. Если при переходе через точку x₀ меняет свой знак, то x₀ является точкой экстремума. А именно, если при переходе через точку x₀ :

а) меняет свой знак с минуса на плюс (то есть при достаточно малых значениях ), то x₀ является точкой минимума;

б) меняет свой знак с плюса на минус (то есть при достаточно малых значениях ), то x₀ является точкой максимума функции;

в) не меняет своего знака, то x₀ не является точкой экстремума.

Иногда удобно пользоваться другим достаточным условием экстремума.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Пусть x₀ – стационарная точка функции f(x), дважды дифференцируемой в точке x₀. Если , то x₀ является точкой экстремума. Точнее говоря, если: а) , то x₀ – точка минимума; б) , то x₀ – точка максимума.

Точкой экстремума f(x) может оказаться и точка, в которой не определена. Стационарные точки и точки, в которых не определена, называют критическими точками функции.

Пример 1. Найти точки экстремума функции .

Решение. Наша функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки. . Стационарными точками являются . При переходе через точку не меняет своего знака, поэтому эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку меняет свой знак с «–» на «+», следовательно, – точка минимума (на рисунке получается «впадина»).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке находят значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на концах отрезка, после чего сравнивают эти значения и выбирают наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 3].

Решение.Функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки

.

Стационарными точками являются x₁ = –2, x₂ = 0, x₃ = 2; из них лишь x₂ = 0 и x₃ = 2 принадлежат промежутку [–1; 3] . Найдём значения функции в точках x = 0, x = 2, а также на концах отрезка: f(0) = 0,

f(2) =16 – 32 = –16, f(–1) = 1 – 8 = –7, f(3) = 81 – 72 = 9. Сравнив полученные значения, находим:

, .