Электронная теория дисперсии.

Исследуем зависимость диэлектрической проницаемости среды от частоты ℇ(ω) световых волн, вызывающих смещение электрических зарядов вещества(а т. к. n = ℇ, то получим зависимость n(ω)). Электрическое смещение связано с напряженностью электрического поля

= ℇℇ , (35-1)

а с другой стороны

= ℇ + , (35-2)

где - поляризованность (см. ч.3, лекц. №18). Приравнивая (35-1) и (35-2) можно выразить ℇ. Предварительно получим выражение для поляризованности .

Под влиянием электрического поля электрон в атоме смещается из положения равновесия на расстояние , превращая таким образом атом в электрическую систему с электрическим моментом , направленную вдоль поля-диполь. (Речь идет о так называемых «оптических» электронах, слабо связанных с ядром.) Если в единице объема среды находится N атомов, то электрический момент единицы объема , а эта величина по определению является поляризованностью.

В одном атоме может быть несколько электронов, взаимодействующих с внешним полем («оптических» электронов), тогда целесообразно записать

(35-3)

Подставляя это выражение в (35-2)

ℇ (35-4)

Далее определим смещение электронов под действием внешнего периодически меняющегося поля (ωt + α). При прохождении световой волны на каждый оптический электрон действует сила электрического поля волны

(ωt + α) = .

Под воздействием этой силы электроны совершают вынужденные колебания с частотой ω.

Оптические электроны согласно классическим представлениям связаны с остальной частью атома квазиупругой силой где к – коэффициент упругости, определяемый свойствами вещества, - смещение электрона из положения равновесия. Таким образом, каждый оптический электрон обладает собственной частотой колебаний ω₀.

Смещение можно найти из уравнения движения (в пренебрежении затуханием колебаний)

,

где m – масса электрона, или

.

Разделим обе части на m и перенесем - в левую часть уравнения.

Обозначим , тогда

Решение этого уравнения

Тогда из уравнения (35-3) поляризованность

Подставляя это выражение для в (35-2) и приравнивая (35-2) к (35-1), получим

ℇℇ (t) = ℇ (t) +

Сократим последнее равенство на (t), разделим обе части на ℇ и получим выражение для диэлектрической проницаемости среды

ℇ ℇ (35-5)

Так, как n = ℇ, то

ℇ (35-6)

Дисперсионная кривая n(ω), соответствующая выражению (35-6) представлена на рис. 35.5 в предположении двух оптических электронов у атома. Дисперсионная кривая распадается на ряд ветвей. Вблизи ω_0i (собственные частоты колебаний разных оптических электронов) (пунктир). Если учесть реально существующее затухание колебаний, то можно получить более точное выражение для зависимости n(ω), пригодное и для областей аномальной дисперсии (где n убывает с частотой).