Регрессионный анализ.

Изучение корреляционной связи начинается с регрессионного анализа, который решает проблему установления формы связи или вида уравнения регрессии и определения параметров уравнения регрессии.

Различают уравнения простой (парной) регрессии (когда один х соответствует у) и множественной (многофакторной) регрессии (когда результативный признак у связан с несколькими факторными признаками х).

Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется у при изменении какого-либо хі и имеет вид:

У(х) = f(х1,х2……хn).

Наиболее часто для характеристики корреляционной связи используют такие вид уравнений парной регрессии:

- линейное = а₀+ a₁ x;

- гиперболическое ;

- параболическое = а₀+ а₁ x + а₁ x² і т.д.

где а0, а1 – параметры уравнений регрессии, которые необходимо определить.

Параметр а0 показывает усредненное влияние на результативный признак факторов, которые не учтены.

Параметр а1 показывает насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу.

Параметры в уравнениях регрессии определяются методом наименьших квадратов, суть которого в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результативного показателя от расчетных значений.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов имеет такой вид:

па₀ + а₁ x= у;

а₀ x + а₁ x² = xу,

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

Например, имеются данные, характеризующие деловую активность акционерных обществ закрытого типа (АОЗТ): прибыль (млн. р.) и затраты на 1 р. произведенной продукции (коп). (табл.8.1).

Предположим наличие линейной зависимости между анализируемыми признаками. Система нормальных уравнений для данного примера имеет вид:

па₀ + а₁ x= у;

а₀ x + а₁ x² = xу,

Подставив данные, рассчитанные в табл.8.1. получим:

6а₀ + 502а₁ = 4466;

502 а₀ + 42280 а₁ = 362404.

Таблица 8.1

Расчетные данные для определения параметров линейного уравнения регрессии

Решив систему уравнений получим: а₀ = 4153,88; а₁ = - 40,75

Таким образом, У_х = 4153,88 - 40,75x.

Если связь между признаками х и у является криволинейной и описывается уравнением параболы второго порядка:

= а₀+ а₁ x + а₂ x²

задача сводится к определению неизвестных параметров: а₀, а₁, а₂, а система нормальных уравнений имеет вид:

па₀ + а₁ x + а₂ x² = у;

а₀ x+ а₁ x² + а₂ x³ = уx;

а₀ x² + а₁ x³ + а₂ x⁴ = уx².

Оценка обратной зависимости между х и у, когда при увеличении (уменьшении) х уменьшается (увеличивается) значение результативного признака у, может быть осуществлена на основе уравнения гиперболы:

.

Систему нормальных уравнений для нахождения параметров гиперболы можно представить следующим образом:

Наиболее сложным этапом, который завершает регрессионный анализ, является интерпретация уравнения, т.е. перевод его с языка статистики и математики на язык экономиста.

С целью расширения возможностей экономического анализа используется коэффициент эластичности, который определяется по формуле:

,

где x_і - среднее значение соответствующего факторного признака;

- среднее значение результативного признака;

а_і - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в бреднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1 %.