П2.4. Повторение опытов.

Частная теорема о повторении опытов.

Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них событие А появляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А реализуется в этих n опытах ровно m раз, выражается биномиальным распределением вероятностей:

(П2.14)
где - число сочетаний из n элементов по m.

Часто можно встретить эту формулу с использованием равенства .

Вероятность того, что в этих n опытах событие А произойдет хотя бы один раз определяется формулой:

(П2.15)
Общая теорема о повторении опытов.

Если производится n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность события А в i–м опыте равна p_i (i=1,2,…,n), то вероятность того, что событие А появится в этих опытах ровно m раз, равна коэффициенту при z^m в разложении по степеням z производящей функции:

(П2.16)
Вероятность хотя бы одного появления события А при n независимых опытах в различных условиях равна:

(П2.17)
Для любых условий (одинаковых и различных) выполняется условие:

(П2.18)
Вероятность того, что при n опытах событие А появится не менее k раз, выражается формулой:

(П2.19)
где определяется по формуле (П2.14).

Задача П2.23.

Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла одинакова и равна р. Узлы выходят из строя независимо один от другого.

Найти вероятность того, что за время t :

а) не откажет хотя бы один узел;

в) не откажет ровно один узел;

с) не откажет ровно два узла;

d) не откажет не менее двух узлов.

Решение [8]

а)

в)

с)

d)

Задача П2.24.

Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре изделия дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р. Для контроля из продукции завода выбирается n изделий.

Определить вероятности реализации следующих событий:

А –– ни в одном изделии не будет обнаружен дефект;

В –– среди n изделий ровно в двух будет обнаружен дефект;

С - среди n изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект.

Решение [8]

Вероятность того, что в одном наугад выбранном изделии будет обнаружен дефект равна произведению (p×r), тогда:

Задача П2.25.

В течение времени t эксплуатируется N приборов. Каждый прибор имеет надежность р и выходит из строя независимо от других. Найти вероятность Р(А) того, что мастер, вызванный по окончании времени t для ремонта неисправных приборов, не справится со своей задачей за время t, если на ремонт каждого прибора мастеру требуется время t₀.

Решение.

Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем константа x:

(П2.20)
Функция F (x) есть неубывающая функция, F ( - ¥ ) = 0, F ( + ¥ ) = 1.

Плотностью распределения случайной величины называется функция

(П2.21)
Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна:

(П2.22)
График плотности f(а) называется кривой распределения.

Элементом вероятности для случайной величины X называется величина f(а)dа, приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки X в элементарный отрезок dа, примыкающий к этой точке.

Функция распределения случайной величины F(а) выражается через плотность распределения формулой:

(П2.23)
Вероятность W попадания случайной величины X на участок, протяженностью от a до b, включая a, выражается формулой:

(П2.24)
Математическим ожиданием случайной величины X называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

(П2.25)
для дискретных случайных величин,

где x_i –– значение случайной величины,

р_i –– вероятность реализации значения x_I .

(П2.26)
для непрерывных случайных величин

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Для дискретных случайных величин:

(П2.27)
Для непрерывных случайных величин:

(П2.28)
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии

(П2.29)
Центрированной случайной величиной называется разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием m_x:

(П2.30)
Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:

(П2.31)
Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины:

(П2.32)
Биномиальный закон распределения числа n появления события A в n независимых опытах.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если она может принимать значения 0,1,2,…n, а вероятность того, что X = m < n выражается формулой:

(П2.33)
где –– вероятность появления m событий при проведении n испытаний,

–– число сочетаний из n по m,

p –– вероятность появления события А в одном испытании;

q = 1-p –– вероятность непоявления события А.

Биномиальное распределение отличается следующими свойствами:

математическое ожидание числа событий (при проведении n испытаний) равно М[X] = n×p;

среднеквадратическое отклонение

(П2.34)
При увеличении числа испытаний биномиальное распределение приближается к нормальному со средним значением:

(П2.35)
и дисперсией

(П2.36)
Закон Пуассона.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2,…, n,…, а вероятность того, что X=n выражается зависимостью:

(П2.37)
где a > 0 –– параметр закона Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, вычисляются по формулам:

(П2.38)

(П2.39)
где l(x) –– функция интенсивности появления случайного события.

Вероятность числа n реализаций за время t случайных событий, распределенных по закону Пуассона, при l(t) = const = l вычисляется по формуле:

(П2.40)
где l –– интенсивность появления случайного события, равная среднему числу реализации событий в единицу времени;

l×t = а –– среднее число событий, реализовавшихся за время t.

Характерным признаком распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии

(М[X] = l×t, D[X] = l×t).

Функция вида:

(П2.41)
где a>0, j>0 –– некоторые постоянные,

S –– натуральное число

обладает свойствами плотности распределения. Некоторые из законов распределения случайных величин типа f_S(x) имеют определенные названия, например:

f₁(x) –– называется законом Релея,

f₂(x) –– называется законом Максвелла.

Для закона Релея:

(П2.42)

(П2.43)
Для закона Максвелла:

(П2.44)

(П2.45)
Все законы вида:

(П2.46)
являются однопараметрическими, т.е. зависят только от одного параметра, в качестве которого можно задать, например, математическое ожидание или дисперсию.

Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.

Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной в интервале ( a, b ), если ее плотность распределения на этом интервале постоянна:

(П2.47)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины при ее равномерном распределении соответственно равны:

(П2.48)
Вывод формулы (2.48).

По определению:

дисперсия

Поскольку случайная величина распределена равномерно на интервале (a, b), то:

Нормальный закон распределения случайных величин.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если плотность ее распределения подчинена зависимости:

(П2.49)
где: m –– математическое ожидание случайной величины;

D = s² –– ее дисперсия.

Вероятность попадания случайной величины X , распределенной по нормальному закону, в интервале (a, b) выражается формулой:

(П2.50)

(П2.51)
(П2.52)
(П2.53)
Функция Ф*(x) –– табулированная функция Лапласа.

На практике бывает удобнее пользоваться аппроксимацией координатного закона поражения Ф.А. Евстифеевым.

(П2.54)

(П2.55)

где –– нормированное отклонение случайной величины Х.

В (2.54) принимается знак (-), если величина «y» отрицательна и (+) в противном случае.

Распределение Вейбулла.

Плотность распределения:

(П2.56)
где

Функция распределения (функция отказов или ненадежности):

(П2.57)
Функция надежности:

Интенсивность отказов:

(П2.58)

Для начального этапа эксплуатации технических систем распределение Вейбулла используется для расчета вероятности безотказной работы системы в течение времени t. Для этих целей можно принять значения:

q = 0, b ³ 1, c @ 0.5, tÎ[0, t₁]

где t₁ –– окончание этапа приработки технической системы.

Ниже приведен пример изменения интенсивности отказов (рис. П2.1), подчиненных распределению Вейбулла с определенными выше значениями констант.

Рис. П2.1. Изменение интенсивности отказов на начальном этапе эксплуатации системы.

Задача П2.26.

Производится три независимых испытаний приборов, в каждом из которых неисправность (событие А) появляется с вероятностью 0.4. Рассматривается случайная величина Х –– число выявленных неисправностей в трех опытах.

Необходимо построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х. Найти ее математическое ожидание M[X], дисперсию D[X], среднее квадратическое отклонение s_х и третий центральный момент m₃[X].

Решение [8].

Введем обозначения:

x_i –– число неисправностей, обнаруженных в трех испытаниях;

p_i –– вероятность того, что в результате трех испытаний будет обнаружено ровно x_i неисправностей.

Эта вероятность рассчитывается по формуле (П2.33) биномиального закона распределения дискретных случайных величин. Тогда ряд распределения дискретной случайной величины и функция распределения имеют вид:

xi
		0.4	0.16	0.064
	0.216	0.36	0.6
pi	0.216	0.432	0.288	0.064
F(x)		0+0.216=0.216	0.216+0.432= 0.648	0.648+0.288= 0.936

Математическое ожидание

Дисперсия

;

Третий центральный момент

Задача П2.27.

Производится n независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Рассматривается случайная величина l –– частота появления события А в n опытах, т.е. отношение числа появления события А к общему числу n произведенных опытов.

Найти ряд распределения случайной величины l, найти ее математическое ожидание, дисперсию.

Решение.

Пусть q = 1 - p;

Тогда M[l]= p; ,

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

l		1/n	…	m/n	…
pl	qn		…		…	pn

Задача П2.28.

При работе ЭВМ иногда возникают сбои. Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1.5.

Определить вероятности следующих событий:

А –– за двое суток не произойдет ни одного сбоя;

В –– в течение суток произойдет хотя бы один сбой;

С –– за неделю (7 суток) работы ЭВМ произойдет не менее трех сбоев.

Решение.

Вероятность возникновения N сбоев за время Т определяется по закону Пуассона выражением:

Задача П2.29.

Электронная лампа работает исправно в течение случайного значения времени Т, распределенного по показательному закону:

f(t) = 0 при t < 0

при t > 0.

По истечении времени Т лампа выходит из строя, после чего она немедленно заменяется на новую.

Определить вероятности того, что за время t

лампу придется менять не менее трех раз.

Решение.

Отказы ламп образуют простейший поток с плотностью l. Математическое ожидание числа отказов а за время t равно .

,

,

Задача П2.30.

Техническое устройство состоит из трех узлов. В первом узле работает n₁ элементов, во втором –– n₂, в третьем –– n₃.

Первый узел безусловно необходим для работы устройства, второй и третий –– дублируют друг друга. Время работы каждого элемента распределено по показательному закону. Среднее время работы элемента, входящего в первый узел равно ,среднее время работы элементов, входящих во второй и третий узлы –– .

Первый узел выходит из строя, если в нем отказало не менее двух элементов, второй (третий) –– при выходе из строя хотя бы одного элемента.

Для выхода из строя устройства в целом достаточно, чтобы отказал первый узел или второй и третий вместе.

Найти вероятность того, что за время t техническое устройство выйдет из строя.

Решение.

Пусть Q –– вероятность выхода из строя устройства,

Q₁ –– вероятность выхода из строя первого узла,

Q₂ –– вероятность выхода из строя второго узла,

Q₃ –– вероятность выхода из строя третьего узла;

q₁, q₂, q₃ –– вероятности выхода из строя одного элемента соответствующего i-го узла.

Тогда вероятность выхода из строя устройства равна:

Вероятность выхода из строя первого узла за время t:

Вероятность выхода из строя одного элемента соответствующего узла за время t:

Вероятности Q₂, Q₃ выхода из строя второго и третьего узлов рассчитываются по формулам:

.

Ниже приведено решение этой задачи в Matlab

T1cp=7000;T2cp=10000;T3cp=8000; n1=4;n2=2;n3=1; t=1000;

q1=1-exp(-t/T1cp); ненадежность одного элемента из первой группы

q2=1-exp(-t/T2cp); ); ненадежность одного элемента из второй группы

q3=1-exp(-t/T3cp); ); ненадежность одного элемента из третьей группы

Q2=1-(1-q2)^n2;вероятность отказа второго устройства

Q3=1-(1-q3)^n3; вероятность отказа третьего устройства

Q1=1-(1-q1)^n1-n1*q1*(1-q1)^(n1-1);вероятность отказа первого устройства

[Q1 Q2 Q3] вероятности отказов первого, второго и третьего устройств

QC=Q1+(Q1)*Q2*Q3вероятность отказа системы

ans =0.0884 0.1813 0.1175

QC = 0.0903

Задача П2.31[14].

Автомашина проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время осмотра, распределено по закону Пуассона с параметром а. Если неисправность не обнаружена, осмотр машины продолжается в среднем 2 часа. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится еще полчаса. Если обнаружено более двух неисправностей, машина ставится на ремонт, где она находится в среднем 4 часа.

Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания и ремонта машины, определить его математическое ожидание.

Решение.

Индекс i
Число неисправностей				Более 2 х
Ti		2.5
pi	exp(-a)

Математическое ожидание времени ремонта и обслуживания:

Числовые характеристики функций случайных величин.

Если Х –– дискретная случайная величина с рядом распределения

и величина Y связана с Х функциональной зависимостью , то математическое ожидание случайной величины Y равно:

, (П2.59)
при этом дисперсия выражается любой из двух следующих формул:

(П2.60)
Если Х –– непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), a Y=j(X), то математическое ожидание величины Y равно:

(П2.61)
Дисперсия определяется с помощью одной из следующих двух формул: