Оценка стоимости денег при аннуитете

Оценка стоимости денег при аннуитете связана с использованием наиболее сложных алгоритмов и определением метода начисления процента – предварительным (пренумерандо) или последующим (постнумерандо).

1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:

SA_pre =

где

SA_pre – будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i – используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Исходим из того, что необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет; интервал платежей по аннуитету составляет один год (платежи вносятся в начале года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 усл. ден. ед.; используемая для наращения стоимости процентная ставка составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:

SA_pre = 1000× (1 + 0,1)= 6710 усл. ден. единиц.

2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

SA_post =

Допустим, что необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим:

1000× = 6100 усл. ден. единиц.

Сопоставление результатов расчета по двум примерам показывает, что будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае плательщику обеспечена гораздо большая сумма дохода.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:

PA_pre=

где PA_pre – настоящая стоимость аннуитета, осущест­вляемого на условиях предварительных пла­тежей (пренумерандо);

R –член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа;

i–используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;

n–количество интервалов, по которым осуще­ствляется каждый платеж, в общем обуслов­ленном периоде времени.

Допустим, что необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных:

период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 усл. ден. ед.; используемая для дисконтирования стоимости ставка процента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:

настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), равна:

1000 = 4169 усл. ден. единиц.

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

PA_post=R´

где PA_post – настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i – используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;

n –количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обуслов­ленном периоде времени.

Рассмотрим вариант, когда необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим:

настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),равна:

1000× = 3790 усл. ден. единиц.

Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает настоящую стоимость аннуитета, осуще­ствляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования инвестору гарантирована гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости.

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется сле­дующая формула:

R=SA_post×

Где R – размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости);

SApost– будущая стоимость аннуитета (осуществля­емого на условиях последующих платежей);

i - используемая процентная ставка, выражен­ная десятичной дробью;

n - количество интервалов, по которым намеча­ется осуществлять каждый платеж, в обу­словленном периоде времени.

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:

R=РA_post×

где R – размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при известной текущей его стои­мости);

РA_post – настоящая стоимость аннуитета (осуществля­емого на условиях последующих платежей);

i– используемая процентная ставка, выражен­ная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым намеча­ется осуществлять каждый платеж, в обуслов­ленном периоде времени.

В процессе расчета аннуитета возможно использо­вание упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффици­ент) его наращения или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:

SA_post = R × І_А,

где SA_post – будущая стоимость аннуитета (осуществля­емого на условиях последующих платежей);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

1_а – множитель наращения стоимости аннуите­та, определяемый по специальным табли­цам, с учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Соответственно, формула для определения насто­ящей стоимости аннуитета имеет вид:

PA_post = R×D_А,

где PA_post – настоящая стоимость аннуитета (осущест­вляемого на условиях последующих плате­жей);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

Da– дисконтный множитель аннуитета, опреде­ляемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Использование стандартных множителей (коэффициентов) наращения и дисконтирования стоимости существенно ускоряет и облегчает процесс оценки стоимости денег во времени.