Действия с направленными отрезками

Векторы в пространстве. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису

Направленные отрезки

Определение 1.1 Отрезок прямой, концами которого служат точки А и В называется направленным отрезком, если указано, какая из этих двух точек является началом и какая – его концом.

Такой направленный отрезок обозначается символом или . Расстояние между точками А и В называется длиной (модулем) направленного отрезка и обозначается соответственно или . Направленные отрезки также называют связанными векторами.

Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком.

Действия с направленными отрезками

Определение 1.2. Два ненулевых направленных отрезка и называются эквивалентными, если их начала и их концы могут быть совмещены параллельным переносом одного из этих отрезков.

То, что направленный отрезок имеет ту же длину и направление, что и отрезок обозначается следующим образом: ~ .

Отметим следующие свойства отношения «~»:

1) ~ (отношение ~ рефлексивно);

2) Если ~ , то ~ (отношение ~ симметрично);

3) Если ~ , и ~ , то ~ (отношение ~ транзитивно).

Таким образом, отношение ~есть отношение эквивалентности.

Если направленные отрезки и эквивалентны, то = .

Рассмотрим два направленных отрезка и . Совместим начало направленного отрезка с концом отрезка (построим направленный отрезок , эквивалентный , начало которого совпадает с концом отрезка ).

Определение 1.3 Суммой двух направленных отрезков и называется отрезок , начало которого совпадает с началом и конец с концом .

Рис.1.1

Это определение иногда называют правилом треугольника.

Замечание 1. Операция сложения направленных отрезков может быть выполнена по правилу параллелограмма: суммойдвух направленных отрезков и называется отрезок , выходящий из их общего начала и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на отрезках и как на сторонах.

Рис.1.2

Обобщение правила треугольника на любое число слагаемых носит название правила замыкающей.

Чтобы построить сумму любого числа направленных отрезков, нужно в конец 1-го слагаемого направленного отрезка поместить начало 2-ого, в конец 2-ого – начало 3-его и т.д. Направленный отрезок, замыкающий полученную ломаную линию, является суммой. Начало его совпадает с началом 1-ого, а конец – с концом последнего слагаемого направленного отрезка.

Рис.1.3

Разностью направленных отрезков и называется направленный отрезок , удовлетворяющий условию .

Замечание 2. Любой направленный отрезок при сложении с нулевым не изменяется.

Определение 1.3. Под произведением направленного отрезка на число понимают:
при нулевой направленный отрезок,

при направленный отрезок, для которого
1) длина равна ;
2) направление совпадает с направлением , если , направление противоположно направлению , если ?.