Теорема. Пусть дан базис ,тогда любой вектор в пространстве может быть представлен и притом единственным образом в виде , где –некоторые числа.

Доказательство. Докажем вначале существование таких чисел.

Совместим начала всех векторов и в точке O и проведем через конец вектора плоскость, параллельную плоскости O, (рис. 4.1). Построим новые векторы и так, что , а и были коллинеарны, тогда в силу коллинеарности векторов и имеем . Перенеся затем начало вектора в точку O , получим и, следовательно, что доказывает существование разложения.

Рис. 4.1 Разложения вектора по базису

Докажем единственность разложения по базису. Пусть мы имеем и допустим, что существует другая тройка чисел таких, что

Вычитая почленно эти равенства, получаем

где в силу сделанного предположения о не единственности разложения

Но полученное неравенство означает, что линейная комбинация

нетривиальна, векторы линейно зависимы и, следовательно, не могут быть базисом в силу определения 2.4.1. Полученное противоречие доказывает единственность разложения.

Определение 4.6 Числа – коэффициенты в разложении – называются координатами вектора в базисе

Для сокращенной записи координатного разложения вектора используются формы: или

Наконец, если вектор в базисе на плоскости может быть представлен как , то его координатная запись имеет вид .

Отметим, что указание координат вектора вовсе не фиксирует жестко его положение в пространстве. Координаты вектора лишь отражают его аналитическую связь с базисом, задающим систему координат. В данном случае мы рассматриваем свободные векторы, и любой вектор, полученный из данного путем параллельного переноса, будет иметь те же координаты.

Пример 4.1. Даны векторы = (1; 2; 3), = (-1; 0; 3), = (2; 1; -1) и = (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D₁ =

;

D₂ =

D₃ =

Таким образом, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Введение базиса в пространстве и на плоскости позволяет поставить в соответствие каждому вектору упорядоченную тройку (пару) чисел – его координаты. Это, в свою очередь, позволяет установить связь между геометрическими объектами и числами, делает возможным аналитически описывать и исследовать положение и движение физических объектов.

Базис еще называют репером пространства. Параллельным переносом приведем векторы, образующие базис, к общему началу. Совокупность точки и базиса называютсистемой координат.

С каждым из базисных векторов можно связать одинаково ориентированную с ним ось. Эти оси и образуют в общем случае так называемую аффинную систему координат (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Аффинная система координат.

Если векторы, образующие базис единичны и попарно перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной, а базис ортонормированным.

Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декартв своей работе «Рассуждение о методе» в 1637году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлеруже в XVIII веке.