Скалярное произведение двух векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов умноженное на косинус угла между ними, то есть

(2.13)

Так как , то Это означает, что если в скалярном произведении поменять векторы местами, то его значение не изменится.

Если векторы и даны своими координатами в двумерной системе координат, то есть и , то их скалярное произведение равно

(2.14)

Используя то, что

,

из (2.14) получим

(2.15)

Аналогичный результат получается и в случае, когда векторы и со своими координатами даны в трехмерной прямоугольной системе координат. Итак

(2.16)

где координаты вектора , а координаты вектора . (2.15) и (2.16) представляют выражения скалярного произведения двух векторов в координатах.

Из (2.13) с учетом (2.16) нетрудно заметить, что

(2.17)

Теорема 2.1.Равенство нулю скалярного произведения двух не нулевых векторов и является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и

Доказательство:

Необходимость. Дано, что Доказать, что

На самом деле, по условию теоремы векторы перпендикулярны, значит угол между ними равен Тогда

Достаточность. Дано, что Доказать, что По условию теоремы и с учетом

(2.13) имеем Но так как ни один из векторов не нулевой, то

Отсюда следует, что то есть

Пример 2.5. Даны векторы и Найти угол между ними.

Решение.Очевидно, что и Тогда по формуле (2.17) имеем

и

Ответ:

Пример 2.6. Показать, что векторы и перпендикулярны.

Решение.Скалярное произведение этих векторов, вычисленное по формуле (2.16), равно

Тогда согласно теореме 2.1 векторы и перпендикулярны.

Ответ:

Пример 2.7. Найти проекцию вектора на ось (рис. 2.7).

Решение.Согласно рисунку 2.7 имеем

Ответ:

Пример 2.8. Даны векторы Найти вектор который удовлетворяет условиям

Решение.Согласно (2.16) имеем

Решение полученной системы найдем по правилам Крамера (2.10), предварительно вычисляя определители

Тогда по формулам (2.10) найдем координаты вектора в виде

Таким образом, получаем, что

Ответ: