Однородные уравнения.

Однородными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида

либо (7.29)

где нулевой степени однородная функция относительно и а и однородные функции относительно и одинаковой степени. Напомним, что функция двух переменных называется однородной функцией степени относительно и если для любого действительного числа справедливо соотношение

(7.30)

Например, функция относительно и второй степени однородная функция, так как

А функция относительно и нулевой степени однородная функция, так как

Однородные уравнения (7.29) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой с учетом того, что

Пример 7.10.Решить уравнение

(7.31)

Решение.Разрешив (7.31) относительно производной и убедившись, что данное уравнение является однородным, делаем замену переменной . Отсюда

(7.32)

Подставляя значения и из (7.32) в исходное уравнение, его можно преобразовать к уравнению с разделяющимися переменными

(7.33)

Разделив переменные, считая, что получим уравнение с разделенными переменными

(7.34)

Интегрируя (7.34), получим

или

(7.35)

где произвольная постоянная. Переходя в (7.35) к функции получим общее решение исходного дифференциального уравнения в виде

(7.36)

Заметим, что при делении обеих частей уравнения (7.34) на можно было потерять решение исходного уравнения (7.31). Из полученного общего решения (7.36) видно, что данное решение получается при значении постоянной

Ответ:

Пример 7.11.Решить уравнение

(7.37)

Решение.Здесь Так как являются однородными функциями первой степени относительно и , то уравнение (7.37) является однородным уравнением первого порядка. После замены переменной с учетом того, что приходим к уравнению с разделяющимися переменными вида

(7.38)

Разделив переменные в (7.38) и интегрируя, получим общий интеграл уравнения (7.37)

(7.39)

где произвольная постоянная.

Ответ:

К однородному дифференциальному уравнению первого порядка приводятся уравнения вида

(7.40)

где действительные постоянные.

Если прямые и пересекаются в точке с координатами то введением новых переменных и формулами

(7.41)

уравнение (7.40) приводится к однородному уравнению. Если же прямые параллельны, то подстановка приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 7.12.Решить уравнение

(7.42)

Решение.Поскольку то прямые и пересекаются. Решая систему линейных уравнений с двумя неизвестными

(7.43)

находим координаты точки пересечения прямых в виде После введения новых переменных с учетом того, что

(7.44)

исходное уравнение (7.42) преобразуется к виду

(7.45)

Последнее уравнение представляет собой однородное уравнение, которое подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными вида

(7.46)

После интегрирования (7.46) получим

(7.47)

где произвольная постоянная. Переходя в (7.47) к переменным и , получим общее решение исходного уравнения

(7.48)

Ответ: