Линейные дифференциальные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и её производную y^, в первой степени и не содержит их произведений.

Такие уравнения имеют вид:

y^,+P(x)y=Q(x).

Если Q(x)=0, то уравнение y^,+P(x)y=0 называется линейным уравнением без правой части (однородным).

Для решения линейных уравнений пользуются подстановкой: y=uv, y^,=u^,v+v^,u, где u и v – некоторые функции от х.

Рассмотрим решение подобных уравнений на конкретных примерах.

Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение так:

Получено линейное уравнение.

Полагаем y=uv, тогда y^,= u^,v+v^,u.

Подставляя значения y^, и y в данное уравнение, получим:

Выносим во втором и третьем слагаемом u за скобки:

Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Это возможно, так как сомножитель v в равенстве y=uv берётся произвольно:

Разделим переменные, тогда:

Интегрируем:

Теперь уравнение примет вид:

интегрируем:

Теперь найдём искомую функцию, помня, что y=uv.

Из рассмотренного примера легко установить алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

1 Приводят уравнение к виду

2 Используя подстановку y=uv, находят y^,= u^,v+v^,u и подставляют эти выражения в уравнение.

3 Группируют члены уравнения, выносят одну из функций u или v за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

4 Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

5 Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций u и v в равенство y=uv.

Решить уравнение

Решение. Уравнение линейное, без правой части, так как F(x)=0. Имеем:

или, разделяя переменные, получим:

Интегрируем: