Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.

Определение 6.6. Если все , то числовой ряд называется рядом с положительными членами (со строго положительными членами). Принято общий член таких рядов обозначать через .

Теорема 6.6. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами.

Для того, чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство:

а) Необходимость.

Пусть сходится. Тогда по определению последовательность частичных сумм этого ряда сходится, и, следовательно, по теореме Вейерштрасса она ограничена.

б) Достаточность.

Пусть заданного ряда ограничена. Так как является неубывающей, то из ограниченности по теореме Вейерштрасса следует сходимость этой последовательности. Последнее, согласно определению, влечет за собой сходимость ряда .

Теорема доказана.

Теперь перейдем к изучению некоторых достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 6.7. Первый признак сравнения.

Если имеем два ряда с положительными членами и и для всех к удовлетворяется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следуетрасходимость ряда .