Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны

Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений в частных производных. Изложение этого метода мы проведем для задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению однородного уравнения

(1.132)

при однородных граничных условиях

,

(1.133)

и начальных условиях

, , .

(1.134)

Выделим две части метода Фурье. Первая часть заключается в отыскании частных решений уравнения (1.132), удовлетворяющих граничным условиям (1.133). Вторая часть - нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям (1.134).

Будем искать частные решения (1.132), не равные тождественно нулю, в виде произведения двух функций

,

(1.135)

удовлетворяющие граничным условиям (1.133).

Дифференцируя дважды выражение (1.135) по и по , получим

, .

Подставляя найденные производные в уравнение (1.132), получим

или, деля обе части равенства на ,

.

Последнее равенство, левая часть которого зависит от , а правая - только от , возможно лишь в том случае, когда обе части его не зависят ни от ни от , т.е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через (Знак числа будет обоснован ниже). Итак, имеем

.

(1.136)

Из равенства (1.136) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

,

(1.137)

.

(1.138)

Таким образом, уравнение (1.132) распалось на два уравнения, из которых одно содержит функцию только от , а другое - функцию только от или, как говорят, в уравнении (1.132) переменные разделились.

Поскольку мы ищем решения вида (1.135), удовлетворяющие граничным условиям (1.133), то при любом значении должны соблюдаться равенства

, .

Если бы обращался в нуль второй сомножитель ( ), то функция равнялась бы нулю при всех значениях и . Такой случай интереса не представляет. Поскольку мы ищем нетривиальные решения, т.е. не равные тождественно нулю, то мы должны считать, что

и .

(1.139)

Для определения функции мы пришли к следующей краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения: найти такие значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения уравнения (1.138), удовлетворяющие граничным условиям (1.139). Эту задачу называют задачей Штурма-Лиувилля.

Те значения параметра , при которых задача (1.138) - (1.139) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами эти решения - собственными функциями.

Найдем теперь собственные значения и собственные функции задачи (1.138) - (1.139). Нужно рассмотреть три случая, когда , и .

Уравнение (1.138) есть линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения надо составить характеристическое уравнение

;

отсюда , следовательно, вид решения зависит от знака .

А. Пусть . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны и общее решение уравнения (1.138) имеет вид

.

Удовлетворяя граничным условиям (1.139), получим

Так как определитель этой однородной системы

,

то, как известно, система имеет единственное решение и . Следовательно, .

Таким образом, в этом случае решений, отличных от нуля, не существует.

Б. Пусть . Тогда оба корня характеристического уравнения равны нулю и

.

Граничные условия (1.139) дают:

Отсюда , и, следовательно, .

В. Пусть . Корни характеристического уравнения мнимые ( ) и решение уравнения (1.138) имеет вид

.

Удовлетворяя условиям (1.139), получим

Из первого уравнения следует, что , а из второго следует, что . Последнее равенство возможно, когда , ибо в противном случае . Поэтому

,

откуда определяем , где - любое целое число .

Следовательно, нетривиальные решения задачи (1.138) - (1.139) возможны лишь при значениях

.

(1.140)

Решение, отвечающее фиксированному значению , обозначим через . Оно имеет вид

.

Для дальнейшего можем положить .

Итак, собственным значениям соответствуют собственные функции

, .

(1.141)

Заметим, что в соотношениях (1.140), (1.141) мы ограничились только положительными значениями для , так как отрицательные значения не дают новых решений.

Обратимся теперь к отысканию функций . Каждому собственному числу будет соответствовать свое решение уравнения (1.137), которое обозначим через . Для функции имеем уравнение

.

Общее решение этого уравнения имеет вид

,

где - произвольные постоянные.

Таким образом, функция

,

(1.142)

, удовлетворяет уравнению (1.132) и граничным условиям (1.133) при любых и .

Перейдем ко второй части метода Фурье.

При помощи собственных функций построим решения, удовлетворяющие начальным условиям (1.134).

Возьмем общее решение уравнения (1.142) в виде ряда

.

(1.144)

Если ряд (1.144) сходится равномерно в области , , то сумма его является непрерывной функцией в этой области. В силу однородности и линейности уравнения (1.132) ряд (1.144) будет также решением, если его можно почленно дифференцировать по и по . Действительно, при указанных условиях получим

,

так как функции удовлетворяют уравнению (1.132).

Далее, поскольку каждое слагаемое в (1.144) удовлетворяет граничным условиям (1.133), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда, т.е. функция . Остается определить постоянные и так, чтобы функция (1.144) удовлетворяла начальным условиям.

Продифференцируем ряд (1.144) по :

.

(1.145)

Подставляя в (1.144) и (1.145), получим в силу начальных условий (1.134):

(1.146)

Формулы (1.146) представляют собой разложение заданных функций и в ряд Фурье по синусам на интервале .

Из теории рядов Фурье известно, что всякая функция , непрерывная на отрезке вместе со своей производной первого порядка и удовлетворяющая условию , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по синусам:

,

где

.

Предполагая, что функции и удовлетворяют указанным условиям, мы можем утверждать, что и - коэффициенты Фурье, которые вычисляются по известным формулам:

,

(1.147)

,

откуда

.

(1.148)

Таким образом, ряд (1.144), в котором и вычисляются по формулам (1.147), (1.148), дает решение смешанной краевой задачи (1.132)…(1.134).