Свойства бинарных отношений

Отношение R на М называется рефлексивным, если для любого выполняется . Главная диагональ матрицы такого отношения содержит только единицы.

Отношение R на М называется антирефлексивным, если ни для какого не выполняется. Главная диагональ матрицы отношения содержит только нули.

Отношение R на М называется симметричным, если для любой пары из aRb следует bRa (иначе говоря, для любой пары отношение R выполняется в обе стороны или не выполняется вообще). Матрица симметричного отношения – симметрична относительно главной диагонали: для всех i, j, т.е.

Отношение R на М называется антисимметричным, если из того, что (из aRb следует bRa) следует (т. е. ни для каких различных элементов множества М отношение R не выполняется). Матрица антисимметричного отношения не имеет ни одного симметричного относительно главной диагонали единичного элемента.

R симметрично тогда и только тогда, когда .

Отношение R на М называется транзитивным, если для любых a, b, c из множества М из того, что выполняется aRb иbRcследует, чтоaRc.

Для любого отношения R отношение , называемое транзитивным замыканием R, определяется следующим образом:

, если в М существует цепочка из n элементов , в которой между соседними элементами выполнено отношение R:

Если R – транзитивно, то по определению транзитивного замыкания: .