Вибрация одномассовой механической системы под действием внешней периодической нагрузки.

В рассмотренных выше системах не учитывалось воздействие внещней нагрузки. Так как понятие внешней нагрузки варьируется очень широко и поэтому приводит к определенному расхождению в результатах анализа технического состояния систем, необходимо оговорить, что понимается под внешней по отношению к рассматриваемой системе нагрузкой.

Учитывая, что задача анализа систем включает в себя определение спектра собственных частот (в более общем математическом плане -собственных значений функций), под внешней к рассматриваемой системе нагрузкой понимаем нагрузку, не зависящую от функций перемещений точек системы и их производных.

Рассмотрим периодическую (гармоническую) внешнюю нагрузку, приложенную к одномассовой системе, схематично представленной на рис.1, и уже частично рассмотренной в параграфе 1.1. Согласно схеме, между массой т и фиксированной стенкой расположены безмассовый демпфер с коэффициентом демпфирования с и пружина жесткостью k. Демпфер создает силу демпфирования, пропорциональную мгновенной скорости (используем модель вязкого демпфирования) и положительную в положительном направлении х. Комплексное частотное решение для свободных колебаний с демпфированием такой системы приведено в параграфе 1.1. Теперь рассмотрим вынужденные колебания системы.

Уравнение вынужденных колебаний этой системы под действием гармонического возмущения имеет вид

,

(50)

где ‑ соответственно перемещение, скорость и ускорение одномассовой системы;

‑ сила инерции массы m;

‑ сила демпфирования системы;

‑ сила упругой реакции системы;

‑ внешняя возмущающая нагрузка;

F ‑ амплитуда внешней возмущающей нагрузки;

‑ гармоника внешней возмущающей нагрузки;

‑ угловая частота внешней возмущающей нагрузки.

Разделим уравнение (50) на m (m¹0) и, умножив числитель и знаменатель в правой части на k, получим

,

(51)

где ‑ частота собственных колебаний без демпфирования;

‑ безразмерное относительное демпфирование;

‑ критическое демпфирование;

‑ растяжение в пружине, вызванное внешней возмущающей нагрузкой F(t).

Согласно методу разделения переменных, частное решение неоднородного уравнения (51) ищем в виде

,

(52)

где X ‑ функция формы (в данном случае постоянная величина, так как масса m может совершать перемещения лишь по горизонтальной прямой);

‑ функция времени.

Подставив искомое решение (52) в уравнение (51), получим выражение для определения амплитуды вынужденных колебаний

.

Таким образом, искомое решение (52) будет иметь вид

.

(53)

Из (53) следует, что смещение одномассовой системы у пропорционально приложенной внешней нагрузке, а коэффициент пропорциональности равен

.

и называется комплексной частотной характеристикой. Равенство (53) показывает, что смещение является комплексной величиной и может быть представлено в виде

.

Отсюда следует, что смещение имеет одну компоненту (вещественную часть)

,

находящуюся в фазе с приложенной внешней нагрузкой, и вторую компоненту (мнимую часть)

,

которая отстает по фазе на угол 90° от приложенной нагрузки. В этом случае говорят, что эта компонента находится в квадратуре с возбуждением. В результате вектор смещения массы m отстает от вектора возмущающей нагрузки на угол q, определяемый выражением

,

и равный

.

(54)

Поэтому для установившегося состояния системы решение уравнения (51) может быть записано в виде

,

(55)

Величина в квадратных скобках в равенстве (55) является модулем комплексной частотной характеристики . Она называется коэффициентом усиления (коэффициентом увеличения деформаций, коэффициентом динамичности) и является безразмерным отношением между амплитудой смещения X и статическим смещением F/k.

Максимальные значения модуля комплексной функции частотной характеристики соответствуют частотам внешней возмущающей нагрузки, определяемым из выражения (56)

,

(56)

а значение пика

.

(57)

Из (57) следует, что максимальное значение модуля гармонических колебаний рассматриваемой одномассовой системы является функцией безразмерной величины относительного демпфирования x. Если

,

(58)

то рассматриваемая механическая система не обладает демпфированием. В этом случае амплитуда вибрации одномассовой системы будет достигать своего максимального значения при условии

.

(59)

И максимальное значение будет при этом равно ¥. Это значит, что рассматриваемая система теряет устойчивость.

Условие (58) означает, что при выполнении (56) угловая частота внешней нагрузки равна частоте собственных колебаний системы без демпфирования. Таким образом, при совпадении угловой частоты внешней возмущающей нагрузки с частотой собственных колебаний системы без демпфирования последняя теряет устойчивость. Если система обладает демпфированием, то при выполнении условия (56) амплитуда гармонических колебаний механической системы достигает своего максимального значения, определяемого формулой (57).

Приведем несколько определений из ГОСТ "Вибрация. Термины и определения".

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний или вибрации системы от частоты гармонического возбуждения с постоянной амплитудой называется амплитудно-частотной характеристикой.

Вынужденные колебания (вибрация) системы, соответствующие одному из максимумов амплитудно-частотной характеристики, называются резонансом.

Частота, при которой осуществляется резонанс, называется резонансной частотой колебаний системы. Резонансной частотой. (В системе с демпфированием резонансные частоты перемещения, скорости и ускорения различны.)

Таким образом, в рассмотренном примере для системы с демпфированием резонансной частотой является частота, определяемая по выражению (56). Для системы без демпфирования резонансной частотой является частота, определяемая по выражению (59).