Применим метод сечения.

1) Пересечем однополостный гиперболоид координатными плоскостями.

Найдем линию пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью , при этом , поэтому . Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями и .

Сечение плоскостью

Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна .

Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью также является гиперболой с уравнением .

2) Рассмотрим сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

2.1) Плоскостью .

Уравнения этих линий .

При любом h, выражение, стоящее в правой части первого уравнения системы, положительно, т.е. . Разделим на него и получим .Этоуравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости с полуосями и .

2.2) Плоскостью .

Уравнения этих линий .

При , - в сечении получили пару пересекающихся прямых.

При , - в сечении получается гипербола.

2.3) Плоскостью . Аналогично п. 2.2.

Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений Однополостный гиперболоид

Если в уравнении (1) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения. Его уравнение: .

Однополостный гиперболоид вращения

Вопрос.

Определение 2. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: (2).

Исследуем уравнение (2) и определим форму двуполостного гиперболоида.

1. Точка О (0;0;0) не принадлежит двуполостному гиперболоиду, так как ее координаты не удовлетворяют уравнению (2).

2. Переменные x, y, z входят в уравнение в четной степени, следовательно, если точка М(x, y, z) принадлежит поверхности, то ей будет принадлежать 7 точек: М₁ (-x, y, z); М₂ (x, - y, z); М₃ (x, y, - z); М₄ (- x, - y, z);

М₅ (- x, y, - z); М₆ (x, - y, - z); М₇ (- x, - y, - z).

Таким образом, двуполостный гиперболоид фигура симметричная относительно всех координатных осей, координатных плоскостей, начала координат.

3. Найдем точки пересечения двуполостного гиперболоида с осями координат:

С осью ОХ: y = z = 0. Из уравнения (2) следует, х² = - а² , отсюда следует, что точек пересечения нет.

Аналогично с осью ОУ: x = z = 0. Из уравнения (2) следует, у² = - b² , отсюда следует, что точек пересечения нет.

С осью ОZ: y = х = 0. Из уравнения (2) следует, z ² = с², отсюда z = ± с.

Следовательно, двуполостный гиперболоид пересекает ось ОZ в двух точках:

С₁(0; 0; с), С₂(0; 0; -с), которые называются вершинами двуполостного гиперболоида.