ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Определение 1. По­верхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

, (1)

где – действительные числа, причем не все коэф­фициенты при членах второй степени равны нулю.

Рассмотрим основные типы по­верхностей, используя их простейшие (канони­ческие) уравнения. При этом для изучения формы поверхности часто будем прибегать к методу сечений, который применим к любой поверхности. При этом удобно использовать прямоугольную систему координат.

Суть метода сечений состоит в следующем.

Пусть поверхность S задана в прямоугольной системе координат уравнением (1). Пересечем ее плоскостями, параллель­ными координатным плоскостям (или самими координатными пло­скостями), и найдем линии пересечения поверхности с этими пло­скостями. По виду этих линий и выносится суждение о форме по­верхности S.

Определение 2. Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой d, называется поверхностью вращения.

Прямая d, вокруг которой происходит вращение, называется осью вращения.

Поверхность вращения может быть образована следующим образом:

Пусть в плоскости π дана прямая d и линия γ. Поверхность, образованная вращением линии γвокруг прямойdестьповерхность вращенияс осью вращенияd.