ПО СКАЛЯРНОМУ (СВЕРНУТОМУ) КРИТЕРИЮ

В дальнейшем, не снижая общности, будем обозначать сверткувекторного критерия в скаляр как U=U(W_n)=U(w₁,w₂...w_n).

В этом случае, под наилучшим будем понимать решение, обеспечивающее максимальное значение обобщенного показателя U=U(W_n). Тогда задача поиска оптимального решения может быть записана следующим образом:

Необходимо найти такое решение x = x° (xÎX),которое обращает показатель обобщенный показатель эффективности операции U в максимум

U° (x°) = мах U(W_n(x))

XÎX

Принципиальным отличием данной задачи от традиционных задач математического программирования является то, что значение целевой функции U(x)вычисляется не напрямую, а через модель исследуемой системы W = W(x)и функцию свертки U= U(W_n), т.е. U(W_n(x)). Это приводит к тому, что вид целевой функции (выпуклая, монотонная, многоэкстремальная), как и области решения по оптимизируемым переменным Х (выпуклая, невыпуклая) априорно неизвестен. Поэтому для поиска экстремума необходимо использовать численные методы оптимизации, допускающие решение задачи в широком классе целевых функций и ограничений.

МЕТОД «ВЗВЕШЕННОЙ СУММЫ»

B этом случае обобщенный показатель U представляется в виде суммы показателей с весовыми коэффициентами a_i, которые отражают ценность i-ого показателя (его важность для обобщенного показателя) по сравнению с остальными.

_n

U =å a_i u_i

ⁱ⁼¹

Весовые коэффициенты a_i представляют в этом случае компоненты вектора градиента целевой функции. Поиск решения сводится к задаче оптимизации с целевой функцией, линейной относительно компонент векторного критерия W_n(w₁,w₂...w_n), но не вектора Х. Наилучшим будет решение, расположенное максимально далеко в критериальном пространстве от начала координат в направлении градиента (см. рис.).

Альтернатива 2 оптимальна по взвешенной сумме

МЕТОД ИДЕАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

В этом случае обобщенный показатель U=U(W_n)=U(w₁,w₂...w_n)вычисляется как расстояние (длина вектора) в критериальном пространстве между точкой с текущими координатамиW_n=U(w₁,w₂...w_n)и точкой (идеальной), координаты которой задаются ЛПР (экспертом) W_n^ид =U(w₁^ид,w₂^ид...w_n^ид).Как правило, такое решение (идеальное), в общем случае может не существовать, т.е. не реализуемо.

Значение целевой функции U(x)вычисляется также не напрямую, а через модель исследуемой системы и функцию свертки, т.е. U(W_n(x)).

Альтернатива 3, ближайшая по расстоянию до идеальной точки

ПОИСК ПО ПОЛЕЗНОСТИ (ПРЕДПОЧТЕНИЯМ)

Полезность часто задаётся ЛПР (или экспертом) в виде функции полезности – некоторой функции вида U=F (W_n)= F (w₁,w₂...w_n),отражающей «полезность» получаемых решений с его точки зрения (формализованная свертка). Вид функции полезности обычно выбирается из заданного класса функций в евклидовом пространстве.

Следует заметить, что при использовании методов, связанных с сопоставлением различных альтернатив по какой-либо компоненте векторного критерия понятие лучше (больше), в общем случае, не является монотонной функцией своего аргумента (напр. Температура воды для плавания в бассейне).